ベクトルの問題です。教えて下さい！

質問

問．一辺の長さ１の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨについて、ＥＣベクトル・ＤＦベクトル(内積です)を求めよ！
という問題です。

四角形ＥＦＤＣが長方形(ＥＦ＝１、ＦＣ＝√２)になり、
ＥＦとＤＦ(ベクトルは略します)はその対角線になるので解けるかなと思ったのですが、うまくいきませんでした。
ＦＤの始点ＤのところにＥＦの始点Ｅをもっていって(このベクトルをＤＩとします。)ＯＫだと思ったのですが、コサインＦＤＩの値が求められませんでした。
２ＦＤＣ＝ＦＤＩで、コサインＦＤＣ＝１/√３なのでできそう！と思ったのですが・・・。

ちなみにこの問題の解答は式を変形して代数的に解いていました。
図形的に考えても解けると思うのですが、実際自分の力では解けませんでした(笑)

考え方は正しいと思うのですが・・・、やはりどこか違うのでしょうか？？
それとも途中まではあっているのかな？？

う～ん、よくわかりません！
数学がお得意の方、アドバイスよろしくお願いします！！

回答No.6

aster · ベストアンサー

Ｈを原点（０，０，０）に、Ｅ（１，０，０）、Ｇ（０，１，０）、そしてＤ（０，０，１）とすると、

Ｈ（０，０，０）
Ｅ（１，０，０）
Ｆ（１，１，０）
Ｇ（０，１，０）

Ｄ（０，０，１）
Ａ（１，０，１）
Ｂ（１，１，１）
Ｃ（０，１，１）

となり、
ＥＣ＝Ｃ－Ｅ＝（０，１，１）－（１，０，０）＝（－１，１，１）
ＤＦ＝Ｆ－Ｄ＝（１，１，０）－（０，０，１）＝（１，１，－１）

ＥＣ・ＤＦ＝（－１，１，１）・（１，１，－１）＝－１＋１－１＝－１

-----------------------

他方、三角関数の二倍角の公式を使わない場合は：

ＥＣ＝ＥＦ＋ＦＣ　とヴェクトルを合成形で考えると、内積は配分されるので：
角度ＣＥＦをαとすると：

ＥＣ・ＤＦ＝（ＥＦ＋ＦＣ）・ＤＦ＝ＥＦ・ＤＦ＋ＦＣ・ＤＦ

ＥＦ・ＤＦ＝＋(1 * √3 * cosα) ＝１　　なぜなら　cosα＝1/√3
ＦＣ・ＤＦ＝－(√2 * √3 * sinα) ＝－２　　なぜなら　sinα＝√2/√3

ＥＣ・ＤＦ＝１－２＝－１

補足

どうもありがとうございました。
ちょっとわからないのですが、
＞ＦＣ・ＤＦ＝－(√2 * √3 * sinα) ＝－２　　なぜなら　sinα＝√2/√3
でどうやるとこうなるのでしょうか？？
サインとかがどうやるとでてくるのかちょっとわかりません。
良かったら教えて下さい！
お願いします！

回答No.8

aster

＞＞ＦＣ・ＤＦ＝－(√2 * √3 * sinα) ＝－２　　なぜなら　sinα＝√2/√3
＞でどうやるとこうなるのでしょうか？？
＞サインとかがどうやるとでてくるのかちょっとわかりません。

一辺が長さ１の正立方体の透視図を描いてみると分かりますが、ＥＣとＦＤは長さが同じで、丁度、立方体の左右を逆にすると同じ線になるということが分かります。

長方形ＥＦＣＤを考えてみると、ＥＦの長さは１、ＦＣの長さは√２です。

上の式で、ＦＣとＤＦはヴェクトルです。ＤＦをＦＤにすると、ヴェクトルとしては、反対向きになり、ＦＣ・ＤＦとＦＣ・ＦＤは、マイナスになること以外、内積の絶対値は同じです。

角度ＣＥＦがαでした。角度ＤＦＥもαなのです。それは線ＥＣとＦＤが、立方体のなかで、左右を逆に考えると、同じ線だからです。（あるいは，長方形ＥＦＣＤでは、左右の対角線になります）。ＣＥＦ＝ＤＦＥ＝α。

ＦＣとＦＤの内積を考えると、「ＦＣの長さの絶対値＊ＦＤの長さの絶対値＊ｃｏｓ（角度ＤＦＣ）」となります。

ところで、角度ＤＦＥ＋角度ＤＦＣ＝９０度なのです。これは、ＥＦＣＤの長方形を考えると出てきます。角度ＥＦＣ＝９０度＝角度ＤＦＥ＋角度ＤＦＣだからです。

従って、角度ＤＦＣ＝９０度－角度ＤＦＥとなります。ｃｏｓ（角度ＤＦＣ）＝ｃｏｓ（９０度－角度ＤＦＥ）＝ｓｉｎ（角度ＤＦＥ）＝ｓｉｎ（α）です。

そこで、内積ＦＣ・ＦＤ＝√２＊√３＊ｓｉｎ（α）となり、実際に求める内積は、この値にマイナスを付けたものであるので：

＞＞ＦＣ・ＤＦ＝－(√2 * √3 * sinα) ＝－２　　なぜなら　sinα＝√2/√3

こういう式になるのです。ｓｉｎ（α）＝√２／√３だからです。

注）角度αが、０度＝＜α＝＜９０度なら、ｓｉｎ（９０－α）＝ｃｏｓ（α）、またｃｏｓ（９０－α）＝ｓｉｎ（α）です。これはｓｉｎとｃｏｓの意味から、明らかでしょう。

お礼

どうもありがとうございます。
納得できました。
自分でできるように努力します！
本当にありがとうございました！

回答No.7

Le-Livre

補足の補足です....
というより、蛇足？
そんでも、一応…

２倍角の公式というのは、
三角関数に登場する「加法定理」の応用として出てきます。
どのように、２倍角の公式を導くかというと…

加法定理（cosの場合）

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
なんです。
α=β
とすると

cos2α=cosαcosα-sinαsinα
=cos^2α-sin^2α　―――（１）
ですね。

また、三角関数相互関係より

sin^2θ+cos^2θ=1
なんです。これを使って（１）を変形すると

cos^2α-sin^2α=(sin^2α+cos^2α)-2sin^2α
=1-2sin^2α
同様に変形して

1-2sin^2α=1-(2sin^2α+2cos^2α)+2cos^2α
=1-2+2cos^2α
=2cos^2α-1

これで、２倍角の公式（cosの場合）が導き出せました！

これは三角関数ですから、数学(2)の範囲です～。

お礼

どうもありがとうございます。
それはたぶん二学期すぐ習います！
がんまりますね、
どうもありがとうございました！！

回答No.5

tak2006

別解です。
３次元の座標Ｏ-XYZを考えると、
→　　　　　　　　　→
DF＝(1,-1,-1)，　EC＝(1,1,1)
となります(各ベクトルの始点を原点Ｏに持っていく)。

内積は各座標同士の積和でも求められるので、
→　→
DF・EC＝1×1＋(-1)×1＋(-1)×1=-1
となります。

この計算方法は習いましたでしょうか？

お礼

どうもありがとうございます！
成分で考える事をずーっと忘れていました。
この計算方法はもう習いました！
とってもわかりやすくて良かったです。
他の問題でも成分で考えると楽そうですね。
どうもありがとうございました！！

回答No.4

tak2006

No.1の者です。間違えていました。すいません。
-1ですね。

お礼

またまたありがとうございます。
計算過程はとっても参考になりました。

実はcos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)は
cos(2θ)=2cos^2(θ)-1(２倍角の公式より)
という公式は習ってないのです。
違うとき方はないでしょうか？？

よろしければよろしくお願いします！！

回答No.3

Le-Livre

補足....

cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)は

cos(2θ)=2cos^2(θ)-1(２倍角の公式より)

の方が計算楽ですよ。

お礼

どうもありがとうございます！

実は
cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)は

cos(2θ)=2cos^2(θ)-1(２倍角の公式より)

この公式はまだならってないのです(泣)
この事を知らないと解けないのでしょうか？？

二倍角というのは三角比でしょうか、二学期にたぶん習うと思うのですが。

違うとき方があったら教えて下さい！
お願いします！！

回答No.2

seven_triton

＃１
-1でしょう。

お礼

ども！

回答No.1

tak2006

∠CEFをθと置きます。
求める内積は√3×√3×cos(2θ)となります。

ここで、cos(2θ)=cos^2(θ)-sin^2(θ)より、
cos(2θ)=(1/√3)^2-(√2/√3)^2
　　　　=1/3-2/3
　　　　=-1/3
となるので、求める内積は
√3×√3×(-1/3)=1
となります。