新年早々すいません・・・・

質問

早速なんですが、
平行四辺形ABCDで、BE:EC＝３：２となるように、
点Eをとります。同様にDF：FC：３：２になるように、
点Fをとります。そしてAE、AFそれぞれ線で結びます、
そして、対角線BDとの交点をそれぞれ、
G（AEとの交点）、H（AFとの交点）としたときに、
五角形ECFHGは平行四辺形ABCDの何倍になりますか？
って問題なんですが、答えはわかってるんですけど、
（４０分の１１）どうしてこうなるのか、
２，３時間考えてみたんですが、
全然わかりません、どなたかわかりやすいように、
解説してくれませんか？お願いします。。」

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

私は全体から△ABE, △ADF, △AGHを引く方法をとります。

△ABE=(3/5)△ABC=(3/10)□
△ADF=(3/5)△ADC=(3/10)□
△AGH=(GH/BD)△ABD=(GH/BD)*(1/2)□

ここで、GH:BD=2:8（#2さんの(3),(4)のとおり）だから、△AGH=(1/8)□

ということで、求める面積={1-(3/10)-(3/10)-(1/8)}□

きっとこれが最速。

難易度は、「まわりを削るほうが楽」ということに気づきさえすれば「面倒だが、使うものは基本的内容だけ。いかに道筋をたてて１つずつこなしていくかの勝負であり、できる人と出来ない人で差がつきやすい問題」と思います。

補足

これでも難易度低いんですか？？（驚
頭が柔らかくないとできませんね・・・・

回答No.3

rindaryu

では、ＥＦに補助線を入れないやり方で…

△ＢＥＧの面積をｘとすると、ＥＧ：ＧＡ＝３：５なので、
△ＡＢＥ＝５ｘ／３
△ＢＥＧ∽△ＤＡＧで相似比が３：５なので
△ＤＡＧ＝２５ｘ／９
よって△ＡＢＤ＝△ＡＢＧ＋△ＤＡＧ＝４０ｘ／９

△ＤＨＦ＝ｙとして同様に考えると
△ＡＢＤ＝４０ｙ／９となるので、
ｘ＝ｙつまり△ＢＥＧ＝△ＤＨＦ＝ｘ

ここで五角形ＥＣＦＨＧ＝△ＢＣＤ－（△ＢＥＧ＋△ＤＨＦ）
＝４０ｘ／９－２ｘ＝２２ｘ／９

平行四辺形ＡＢＣＤ＝２△ＡＢＤなので８０ｘ／９
よってＥＣＦＨＧ／□ＡＢＣＤ＝２２／８０＝１１／４０

回答No.2

noname#33973

まともに書くとかなり長くなるので、恐らく最短の解法ではないと思いますが、とりあえず。

(1)ΔCBD∽ΔCEFからCEFを求める。
　　CEF:ABCD=2:25

(2)平行四辺形ABCDからΔAFD、ΔABE、ΔCEFを差っ引いてAEFを求める。
　　AEF:ABCD=8:25

(3)AFの延長線とBCの延長線の交点をIとし、ΔIBA∽ΔICFとΔHBI∽ΔHDAを用いて、HD:BDを求める。
　　HD:BD=3:8

(4)同様に、BG:BDを求める。
　　BG:BD=3:8

(5)(3)、(4)より、GH:EFを求める。
　　GH:EF=5:8

(6)ΔAGH∽ΔAEFより、GHFEを求める。
　　GHEF:ABCD=39:200

(7)GHFEとCEFを加え、GHFCEを求める。
　　GHFCE:ABCD=11:40

　(Ans.)　GHFCE=11/40 ABCD

不明な点がありましたらどうぞ遠慮なく。

お礼

みなさんありがとうございました。。
やっとわかりました。
もうひとつ聞きたいことがあるですけど・・・・
この問題の難易度ってどれくらいでしょうか？
大体でいいので教えてください。。

回答No.1

kyanaumi

実際計算してませんが・・・
こうすれば解けそうだっなってのがおもいついたので、やってみてください。
EFと補助線を引くと、三角形AEFと三角形AGHは相似より比が求まりそう。
次に三角形BCDと三角形ECFも相似なので、比が求まりそう。残りのところもごちゃごちゃやったら出ないかな?