ベクトルの質問です。

質問

立方体ABCD-EFGHについて、AGベクトル,CEベクトルのなす角をθとするときcosθの値を求めよ。という問題です。
最初に自分でこの問題を見たときに、AGベクトル=ABベクトル+ADベクトル+AEベクトル、CEベクトル=-（ABベクトル+ADベクトル-AEベクトル）のように表して内積を計算しようとしましたができませんでした。答えを見ると、立方体の一辺の長さをaとして成分表示で表して計算していました。どういうときに普通のベクトル表示で式を立てて、どういうときに成分のベクトル表示で式を立てるのか教えて下さい。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>内積を計算しようとしましたができませんでした。
以下のようにすればできますよ。

AG↑=AB↑+AD↑+AE↑
CE↑=-(AB↑+AD↑-AE↑)
AG↑・CE↑=-(AB↑+AD↑+AE↑)・(AB↑+AD↑-AE↑)
=-(AB↑・AB↑+AB↑・AD↑+AB↑・AE↑
+AD↑・AB↑+AD↑・AD↑+AD↑・AE↑
-AB↑・AE↑-AD↑・AE↑-AE↑・AE↑)
=-(AB^2+AD^2-AE^2)
=-(AB^2+AB^2-AB^2)
=-AB^2 ...(※)

三平方の定理より
AG^2=AC^2+CG^2=(AB^2+BC^2)+CG^2=AB^2+AB^2+AB^2=3AB^2
AG=(√3)AB
同様に
CE^2=CA^2+AE^2=(AB^2+BC^2)+AE^2=AB^2+AB^2+AB^2=3AB^2
CE=(√3)AB

AG↑・CE↑=AG*CEcosθ=3AB^2*cosθ...(★)

(※)と(★)より
　cosθ=-1/3 ...(答え)

>どういうときに普通のベクトル表示で式を立てて、どういうときに成分のベクトル表示で式を立てるのか教えて下さい。

どちらでもできます。好みの方で解けばいいでしょう。
但し、どちらでも解けるようにしてくことが条件です。

答えと質問者さんの方法（私の方法）をよく比較して、両方ともマスターしておいてください。

お礼

回答ありがとうございます。

計算過程まで書いて下さりありがとうございます！
どうやら内積の計算のところで計算ミスをしていたようです…。
２つの方法で解けるようにしたいと思います。

回答No.4

naniwacchi

#1です。

＞>いまの問題では、長方形ACGEの対角線を考えていることになるので、
＞この長方形だけで考えるのも一つの方法ですね。
＞というのがよくわかりません…。

図を描いてみればわかるとは思いますが・・・
添付のように長方形ACGEを抜き出せば、
縦：横＝1：√3の長方形の対角線を考えることになります。
三角形EMGで余弦定理を使えば、ダイレクトに cosθが求まります。

お礼

わざわざ、図まで書いていただきありがとうございます。

いろいろな考え方があるんですね！

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>内積を計算しようとしましたができませんでした。

どのように計算がうまくゆかないのでしょうか？

任意のベクトルは、ベクトル AB=b, AC=c, AD=d を
それぞれ整数倍したものの和にできますから、内積の
計算は |b|=|c|=|d|=a (aは立方体の辺の長さ)
b・c=c・d=d・b=0 とすれば簡単です。

これは成分表示の計算とやっていることは同じなので
両者に差は有りません。お好みしだいです。

お礼

回答ありがとうございます！

よく考えてみたらやっていることは同じなので
できないはずはないですよね…。
たぶん内積の計算のところで計算ミスをしていました。

回答No.1

naniwacchi

内積でも計算できますよ。
AG→・CE→を AB→、AD→、AE→で表したあと、
|AG→|、|CE→|などを辺の長さを用いて示すことで cosθを求めます。
最後に辺の長さを求めて代入するところで、あまり成分計算と変わらないと思います。

いまの問題では、長方形ACGEの対角線を考えていることになるので、
この長方形だけで考えるのも一つの方法ですね。

お礼

この間も回答していただいた方ですね！
回答ありがとうございます。

結局私の最初のやり方でも解けたんですね…。

>いまの問題では、長方形ACGEの対角線を考えていることになるので、この長方形だけで考えるのも一つの方法ですね。
というのがよくわかりません…。