平行六面体の問題

質問

（１）O を始点とするベクトル a↑，b↑，c↑，によってつくられる平行六面体の体積を，
a↑，b↑，c↑，を用いて表しなさい．ただし，ベクトル積（外積）の記号×，スカ
ラー積（内積）の記号・を用いてよい．

（２）四面体 ABCD がある． AB↑, BC↑, CD↑, DA↑ をそれぞれ延長して，
AE↑= 2AB↑, BF↑=3BC↑, CG↑ = 4CD↑, DH↑ =5DA↑となるように，点 E，F，G，
H をとる．四面体 EFGH の体積の，四面体ABCD の体積に対する比を求めな
さい．

という問題です。

問（１）は簡単で（a↑Xb↑)・c↑になると思います。
問（2）の解き方が分かりません。問題のとおり、線を延長して作図しましたが、
これといった関係も見つかりませんでした。

分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授のほどお願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

点Aを座標の原点として、点B,C,D,の位置ベクトルを
b,c,dとすると、点E,F,G,Hの座標e,f,g,hは
e=2b,f=3c-2b,g=4d-3c,h=-4d

HE,HF,HGが張る平行6面体の体積は

|(e-h)・((f-h)X(g-h))|=|96(b・(c X d))|

つまりb,c,dが張る平行6面体の体積の
96倍。
4面体の体積は平行6面体の体積の
1/6だから、答えは　96倍。

お礼

位置ベクトルを使いますね。
本当にわかりやすい方法です。
ありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

（２）をベクトルで計算すると
＞△BCDの面積=(1/2)*|BC↑×CD↑|
四面体ABCDの体積=△BCDの面積*DA↑の面BCDに垂直な成分*1/3だから
四面体ABCDの体積=(1/6)*(BC↑×CD↑)・DA↑・・・・・・・・・・・(ア)
同様に四面体EFGHの体積=(1/6)*(EF↑×FG↑)・GH↑・・・・・(イ)
EF↑=BF↑-BE↑=3BC↑-(AE↑-AB↑)=3BC↑-AB↑・・・・・・・・・(ウ)
FG↑=CG↑-CF↑=4CD↑-(BF↑-BC↑)=4CD↑-2BC↑・・・・・・・・(エ)
GH↑=DH↑-DG↑=5DA↑-(CG↑-CD↑)=5DA↑-3CD↑・・・・・・・・(オ)
(ウ)(オ)より(EF↑×FG↑)=(3BC↑-AB↑)×(4CD↑-2BC↑)
=12BC↑×CD↑-6BC↑×BC↑-4AB↑×CD↑+2AB↑×BC↑
AB↑=-(BC↑+CD↑+DA↑)を代入すると
(EF↑×FG↑)=12BC↑×CD↑-6BC↑×BC↑
+4(BC↑+CD↑+DA↑)×CD↑-2(BC↑+CD↑+DA↑)×BC↑
=18BC↑×CD↑-8BC↑×BC↑+4CD↑×CD↑+4DA↑×CD↑-2DA↑×BC↑
BC↑×BC↑=0、CD↑×CD↑=0だから
(EF↑×FG↑)=18BC↑×CD↑+4DA↑×CD↑-2DA↑×BC↑・・・・(カ)
(オ)(カ)を(イ)に代入
(1/6)*(EF↑×FG↑)・GH↑
=(1/6)(18BC↑×CD↑+4DA↑×CD↑-2DA↑×BC↑)・(5DA↑-3CD↑)
=15(BC↑×CD↑)・DA↑-9(BC↑×CD↑)・CD↑+(10/3)(DA↑×CD↑)・DA↑
-2(DA↑×CD↑)・CD↑-(5/3)(DA↑×BC↑)・DA↑+(DA↑×BC↑)・CD↑
ここで(BC↑×CD↑)・CD↑=0、(DA↑×CD↑)・DA↑=0、(DA↑×CD↑)・CD↑=0、
(DA↑×BC↑)・DA↑=0、(DA↑×BC↑)・CD↑=(BC↑×CD↑)・DA↑だから
(1/6)*(EF↑×FG↑)・GH↑=16(BC↑×CD↑)・DA↑・・・・・・・・(キ)
よって、
四面体EFGH の体積の，四面体ABCDの体積に対する比=(キ)/(ア)
=16(BC↑×CD↑)・DA↑/(1/6)*(BC↑×CD↑)・DA↑=96・・・答

お礼

ご丁寧に図までつけていただいてありがとうございます。
こういう方法もありますね。
大変参考になりました。

回答No.1

Tacosan

それぞれの体積が AB, BC, CD で表せるのかな?

お礼

大事なヒントありがとうございます。