数学の割合の基本的な考え方について

質問

こんにちは。

数学の割合の基本的な考え方について質問致します。。。。（ゴッチャになってまして。。。。。。。。。）

例えば、A君とB君が製品を作るとしますよね。（全部で何個かは不明と設定します）

ところが、Ｂ君は不良品を12個作ってしまったと仮定しますね。

これはＡ君とＢ君の作った全製品中における不良品数の80パーセント分に当たります。

、ということは。
A君は残りの20パーセント分の不良品数を担当（？）したことになりますよね。

で、この場合は12÷0.8＝15と計算して不良品の総数は、ふむふむ15個か。

ということは
15-12＝でA君の作った不良品数は3個だな。

………、となりますよね。。。。。

☆★☆更に詳しく条件を設定してやりますと。。。。。。

Ｂ君が作った不良品12個はB君の作った全製品の4パーセント分に相当すると仮定しますね。

、となると12個がＢ君の作った不良品数。全体の4％を占めますので。。。。。。。。

12÷0.04＝300（Ｂ君の生産総数）
300-12＝288個　Ｂ君の良品の数

………、となりますよね。

小学生レベルの質問なのですが、
ここで12÷0.8や12÷0.04という式を立てる基本的な考え方・概念が今一つピンとくるものがないです。。。。。。。。

12個の中に0.8がいくつあるかな。。。。。
ふむふむ、15個か。
3個、足が出たな。
その分を引いてやろう。

こんな感じで個人的には理解しているのですが、もっとウマい理解の仕方をしておられる方がいらっしゃれば教えて頂けると嬉しいです。

お時間のある時に御回答して頂ければ幸いです。

回答No.7

Ama430 · ベストアンサー

もちろん抽象化は避けて通れませんが、小学校段階では、目に見えるもので推論していくことは重要です。

まず、わり算には２種類あることをご理解ください。

(1)１２個の品物を４人に等しく配ったらひとりあたり何個ですか→１２÷４＝３
(2) １２個の品物を3個ずつ配ったら何人分ありますか→１２÷３＝４

(1)を等分除、(2)を包含除といいます。

12÷0.04　は「0.04」等分などありませんから、「0.04」にあたる数がいくつ含まれるかという「包含除」でイメージしないとわかりません。

(2)で割られる数と割る数の単位が同じであったことに気がつかれましたか。
これをそのまま適用すると「0.04個」というものをイメージしなければなりません。

数学の空想の力で、品物を100等分に割った4個分をイメージしてみましょう。
これが0.04個です。つまり自然数をさらに100等分したものを単位にすることで、小数を自然数の土俵に引き寄せて考えているわけです。
「100等分したものを単位」とするならば１２個は1200単位であることはおわかりでしょう。

こうして12÷0.04=12×100÷4が導かれます。

今度は、12個を4等分します。これが全体の「1%」のイメージです。
それが100%集まると12÷4×100になることはおわかりですか。

12÷4×100=12×100÷4
となるのは、１列12個のタイルを4等分してからそれを100行重ねても、先に12個タイルを列であ100行重ねてから後で4等分しても同じということです。

図解できませんので、わかりにくければこのスレッドで再質問してください。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

普段、ほとんど無自覚・無意識に頭の中で計算してることも、実は学術的な深い意味があったんですね。

私自身は文系の人間なのですが、例えば構造主義（カジッただけですけどね（苦笑））なんかを（分からないながらも）よく読むと（フーコーとか）「あっ！これはこんな意味があったのか。歴史は一直線なものではないんだなぁ」なんてことが分かったりします（あんまり分かってないですけど（汗））

等分除、包含除っていう考え方も初めて知りました。

何となく意識しないで計算は出来てるんですけど、ある程度期間を経ると丸暗記の悲しさ、すぐに忘れちゃうんですよね。。。。。。。。

根本的な理解が出来てないですからね。。。。（大人なのに、昔の教科書を読んだりしてます）

回答No.6

tosa-bash

No.5です。
さっそく間違いがありました。

当分除　→　等分除

申し訳ない。

お礼

了解です。

書き直しとか削除キーで再送信が出来れば便利ですよね。。。。。

私自身も誤字に気付くこと、しばしば。。。。。。。。

回答No.5

tosa-bash

難しいですね。回答になるかどうか…、まあ私の解釈として…。

割合の意味は広くて、倍もその中に含まれますが小学校の学習内容に準拠して「割合と倍は同じ考え方」として述べます。

例えばＡｍの２倍は１６ｍ、するとＡは１６÷２で求められます。倍（割合）で割ると、ちょうど１倍分（つまりＡ）の大きさが分かるという性質を持っています。
１６ｍのテープの下に、「２」（倍）の刻みの数直線が延びているイメージです。その「１」のところ、「１」（倍）分にあたるのが８ｍ、「２」（倍）分にあたるのが１６ｍということです。

整数倍が小数倍になっても同じです。
Ａｍの８０％（０．８倍）が１６ｍ、なら、１６÷０．８の割り算で「１」倍分にあたる２０ｍが分かります。
１６ｍのテープの下に、「１」（倍）の刻みにも届かない、小さな０．１の刻みの「８」までの目盛りがあるイメージです。
１６を小さな目盛りの分の８つに分けます。０．１倍分が２，求める「１」倍分にするには、その１０個分が必要。２の１０個分の２０が答えになります。
これを１６÷０．８の筆算方法（１６を１０倍して８で割る）と比べてみると、順番は逆ですが同じことをしています。

＞12個の中に0.8がいくつあるかな。。。。。

そういう見方（包含除）もありますが、０．８倍で割ると「１」倍あたりが分かるという見方（当分除）の見方もあり、そんな見方が「刷り込まれて」いれば、スッキリ見えることも多いように思います。と私は思っています。

ただ、これは「こんなこと」に関心を持っている大人にとって、です。
子どもたちに伝えようとすると難しいことで、実際には「さあて、どうしようか」と悩んでしまいます。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

そうそう。
私自身、子どもの時は「よく分かんないー」で終わってました（笑）
京都に修学旅行に行っても「寺ばっかしでツマンないー」で終わり。

ある程度年を取ってからでないと歴史や文学の良さは分からないんですよね。。。。。。。

もちろん、数学（算数）の楽しさも。。。。。。。

教育は内発的なものですし、如何に興味を持って貰えるかが勝負かも知れませんね。。。。。

ある程度運も必要かも。。。。。

回答No.4

daikaisan

少し暇ついでに
あなたの趣旨と少しはなれますが、
「数学の割合の基本的な考え方について」
を正面から取り上げると、
演算の学習過程で
足し算→引き算→掛け算ときて、
割り算までくると、別世界が広がります。
まず、数の領域が自然数の世界から、小数、分数へと広がります。
分数を始めは量として理解させますが、
導きの糸のその先には、割合・比があるのです。
４分の１、すなわち１：４。比の値としての分数を習いますが、ほとんど比の値って意味を理解せずに通過してしまいます。
中学に入り、関数世界で割合が顔をだします。
これが変化の割合というもので、Y=aX+b の aの部分です(比例定数ではない)
中学の二次関数で、Y=aX~2(このaは比例定数)、一次関数とちがい、閉区間がちがえば、変化の割合は変動します。(一次関数はどこでも一定)
変化の割合＝Ｙの増加量／Ｘの増加量として教えられ、
更に、高校において、変化の割合とは平均変化率であり、微分係数へ誘導され、微分を学習し、理系では積分に到達します 。

数学の割合とは、小・中・高数学を貫く導きの糸だったのです。

それゆえに、ご指摘の割合の計算をすんなりと超えていくか、いかないかが数学(算数ではなく)の道程の最初の分岐点なのです。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

なるほど。。。。。
数学の好き・嫌い・得意・苦手の最初の分岐点だったのですか。。。。。。。。

確かに、自分自身を振り返っても割合は丸暗記してた記憶があります（苦笑）

公式の成り立ちや歴史的背景なんかも本当は面白いのですが、なかなか。。。。。。。。。

回答No.3

daikaisan

算数を学んでいく過程で、抽象化の壁を乗り越えることが必要とされてきます。
割合はとくに子供達にとってハードルが高いものです。
○は▲の２倍です。・・・○＝▲×２　と整数の割合から
○は▲の０．８倍です。・・・▲＝　ときくとほとんどの子はわかりません。
０．８という割合は単位もないという抽象化された、数量ではない「割合」なのです。
学校の指導でも、具体性をもたせた指導はなかなかむつかしいでしょう。例えば、学校によりますが、速さを学習する際も、さっさと「き・は・じ」の公式をおしえてその場をしのいだりしています。

極論すれば、割合の演算は、抽象化の入り口になるため、具体的イメージでしのぐのにかなり無理があり、教える側も苦労の歴史だとおもいます。

既に回答されている方も、演算の結果として理解されていますね。
なぜ、割合でわるのかというのは方程式演算のなかで埋没しています。

私の場合の逃げ方

Ｂ君は不良品を12個作ってしまった
これはＡ君とＢ君の作った全製品中における不良品数の80パーセント分に当たります。

これを生徒に翻訳　これは・・・不良品１２個

不良品１２個はＡ君とＢ君の作った全製品中における不良品数の80パーセント分

不良品１２個は全製品中における不良品数の80パーセント分
ここで数式翻訳
１２＝(は)不良品数の80パーセント
１２＝不良品数×０．８
不良品数はどうもとめられるか・・・ここでわからないときは
１２＝[　]×０．８
０．８をかけたから１２になったのだよ
だからかける前の[　]だから　１２÷０．８だよと
演算の流れのなかで説明をほどこしたりします。
具体化したイメージをあたえられないところに、壁があるのです。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

丁寧に教えて頂き、大変恐縮しております。

子どもたちに数学を教えてらっしゃるんですね。

そうそう。
具体化されたイメージじゃないとなかなか掴めないんですよね。。。。。。。。

「点や線は面積が無い？」
「じゃあ、点や線は見えないじゃないか」
これは数学好きなビートたけしさんの御意見です。
「１から２を引いて－１になるなんて納得出来ない」
なんてことも仰っておられます。

ただ、１２の０.８の。。。。。。。なんてやってると混乱しますけど、例えば１０個の中で８個が不良品だったら確かにすぐに「８０％です」と答えられますね。

計算せずにほとんど無意識で８０％と出ますよね。
この場合、自分の思考回路を自分で辿ると。。。。。。
８を１０で割って１００を掛けてるんですよね。

簡単な数字で最初に例をしめすと子どもたちにも分かりやすいかも。
ただ、教育の場合は内発的な問題も大きいので難しいかな。。。。。。。。。。。

回答No.2

izayoi2004

これは割合についての理解(1)と式の変換(2)をもとになるのでしょう。
　　　　　　Ｂ君の12個
８０％　＝　------------- (1)
　　　　　　　　総数
総数を知りたいから変換して
　　　　Ｂ君の12個
総数 = -----------　　　　　（２）
　　　　　８０％

ということでしょう。

お礼

御回答、誠にありがとうございます。

なるほど、式にしてみると分かりやすいですね。

総数分のB君の１２個。
変換。
８０％分のB君の１２個。。。。。

なるほど。。。。。。。
小学生時代を思い出しました（苦笑）
基本的な概念をゴッチャにしないようにしないとなぁ。。。。。。。。

回答No.1

shenyi401

意味を考え出すと分からなくなりますね。私もです。
だから，私はあまり意味を考えません。
単純に「割合は何倍になっているかを表す値」だと理解しています。
上記の例で言うと，８０％というのは不良品全体の０.８倍だと考えます。
したがって，不良品全体×０.８＝１２個
よって，不良品全体＝１２÷０.８＝１５個
これ以上深く考えないことにしています。わからなくなるから。

お礼

早速の御回答、誠にありがとうございます。

確かに、意味を深く考えだすとキリが無いですよね。。。。

８０％は不良品全体の０.８倍。。。。。。。

なるほど。
確かに、不良品全体の数１５掛けることの０.８なら１２になりますしね。