不等式の超基本的なことですが・・・

質問

不等式の基本中の基本の問題が理解できません。パターン問題として覚えているので、正解はできるのですが、納得がいきません。

a>b,c>d ⇒ a+c>b+dを証明せよ。
a>b,c>dのとき、a-b>0,c-d>0
よって、(a+c)-(b-d)=(a-b)+(c-d)>0・・・・・・

などと証明していきますが、上の「よって」の後がわかりません。確かに括弧をとってみるとイコールになっているのですが、いわれてみてなるほどなぁ、と思えるぐらいで、自分でこの式は導き出せません。

どのような理由（ひらめき）で、(a+c)-(b-d)=(a-b)+(c-d)という式が導き出せるのか教えてください。

回答No.1

noname#19971 · ベストアンサー

最初の
a>b,c>dのとき、a-b>0,c-d>0
は、理解できますよね。

確かにa>bを移項するとa-b>0になるわけなんですが、
ここでは「大きい数から小さい数を引くと、正の数になる」という理解をすることが重要です。
これを理解することが、この問題最大のポイントです。

最終的に証明したいのは、
a+c>b+d
であることです。
上記と同様に考えると、『a+cはb+dより大きい』、すなわち、『a+cからb+dを引くと、正の数になる』ことを証明すれば良いわけです。

そこで、a+cからb+dを引いてみます。
(a+c)-(b+d)ですね。
カッコを取ると、a+c-b-dです。

で、a-b>0,c-d>0が分かっているので、上の式からa-bとc-dをくくり出します。
(a-b)+(c-d)
ですね。

ここで、
　(a-b)は、正の数
　(c-d)も、正の数
です。

正の数と正の数を足したら・・・
もちろん、正の数になりますよね。
これで、証明完了です。

先述のように、この問題では、不等式を「大から小を引いたら正の数」というポイントを見破ることがすべてです。
与えられている条件をいじっていけば、この形に辿り着けます。
これに至るためのセンスは、「和文数訳」と「数文和訳」でしょうね。
言葉で与えられた条件を数字にするセンス、
数字で与えられた条件を文章にするセンス、
いずれも、経験を積み重ねて磨かれていくものだと思います。

お礼

いや～、学校の先生より桁違いにわかりやすいです。どうもありがとうございます。
「大から小を引いたら正の数」なんていうことも知りませんでした。これから受験までい1年8ヶ月演習を積み重ねて、「和文数訳」と「数文和訳」の力をつけて生きたいと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.3

quantum2000

ご質問の不等式の証明の仕方については，
Ｎｏ．１さんやＮｏ．２さんの解説でよいかと思いますが，
ご質問の不等式については，別証明もありますので，ご参考までに．

　　　　ａ ＞ ｂ
より，
　　ａ＋ｃ ＞ ｂ＋ｃ　　(1)
また，
　　　　ｃ ＞ ｄ
より，
　　ｂ＋ｃ ＞ ｂ＋ｄ　　(2)

すると，(1)，(2) より，
　　ａ＋ｃ ＞ ｂ＋ｃ ＞ ｂ＋ｄ
よって，
　　ａ＋ｃ ＞ ｂ＋ｄ
となる．

お礼

ありがとうございました。不等式の根本的な性質を使っていて、わかりやすいです。とても鮮やかな解答ですね。この不等式に関しては、この解答が、短く且つわかりやすいので、これを覚えようと思います。

回答No.2

gengen4

A>Bを証明するときには
Ａ－Ｂを計算してＡ－Ｂ＞０を示すのが主流です。
つまり
a+c>b+d
を証明するならば
(a+c)-(b+d)>0を証明すればいいんじゃね？って感じになります。
ここで
(a+c)-(b+d)のままでは証明できないのでとりあえず括弧をはずしてみると、
a+c-b-dとなる。
a+c-b-d＞０を証明するには－の符号のついてるｂとｄが邪魔だな～と思ってる内に仮定のa>ｂ,c>dってのをみるとa-b>0,c-d>0という式が想起され
a+c-b-d=(a-b)+(c-d)>0
にたどり着くっていうのが自分の答えにたどりつく流れです。
なので私の解答は
a+c-(b+d)
=a+c-b-d
=(a-b)+(c-d)…(1)
ここでa>b,c>dよりa-b>0、c-d>0だから
a+c-(b+d)=(1)＞０
以上よりa+c>b+d。
となります。

suugaku1さんが質問で書かれている証明はいわゆる頭のいい人の解答、もしくはすごく模範的で教材に乗っているような解答でしょう。

お礼

ありがとうございました。これは学校の教師が書いたわかりにくい解答です・・・