Shapiroの不等式でn=4のときの証明

質問

http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
にあるShapiroの不等式でn=3のときは、Nesbittの不等式と呼ばれていていくつかの証明があるのですが、
http://en.wikipedia.org/wiki/Nesbitt's_inequality
次のn=4のときの証明が出来ません。証明できた方は教えていただけないでしょうか。

a>0,b>0,c>0,d>0とするとき、
a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) ≧　2

回答No.1

f272 · ベストアンサー

私が教えてもらった証明法だと...
(a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b))(a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b))
((√(a/(b+c))^2+(√(b/(c+d))^2+(√(c/(d+a))^2+(√(d/(a+b))^2)((√(a(b+c))^2+(√(b(c+d))^2+(√(c(d+a))^2+(√(d(a+b))^2)
>=(a+b+c+d)^2 （コーシーシュワルツの不等式）
また
(a+b+c+d)^2-2(a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b))
=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd
=(a-c)^2+(b-d)^2
>=0
従って
(a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b))(a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b))>=2(a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b))
だから
(a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b))>=2

お礼

すばらしい方法ですね。最大限の感謝いたします。