数学～確立～

質問

質問です。

赤球１０個を区別のできない４個の箱に分ける方法は何通りあるか？

の問題で、解説を読んだら全ての通りを書き出してるだけで、
非常に大変なんですけど、もっと数学的にスッキリと解く方法
ありませんか？？ちなみに答えは「２３通り」です！！
計算で解きたいです！！
お願いします！！

回答No.7

kumipapa

#6です。考えてみたのですが、最後はどうしても数え上げる作業が必要になって・・・。余り冴えませんが、参考まで。

４つの箱に入れる球の数の組み合わせを (0,0,0,10),(0,0,1,9),(0,0,2,8)・・・のように(a,b,c,d)と書き出してみると分かるのですが、組を重複しないように書き出す条件は、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０
ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
となり、この式を満たす０以上の整数 a,b,c,d の組み合わせを求める問題と同じになります。

【　その１　】
ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ という条件を無視すると、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０となる０以上の整数の組み合わせの数を求めるのは、いわゆる重複組み合わせの問題であり、4Ｈ10＝２８６通り。
この２８６通りの組み合わせには、ａ，ｂ，ｃ，ｄの順番を入れ替えたものが重複して数えられている。単純に４！で割ればよいというわけにはいかないので、ここは場合分けする。

３つの数字が同じ場合）
同じになる数字は０，１，２，３のいずれかであり、４組存在する。それぞれに対して４通りの計１６通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている。

２種類の数字が２個づつの場合）
(0,0,5,5,), (1,1,4,4,),(2,2,3,3)の３組存在する。それぞれに対して６通りの計１８通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている。

同じ数字が２個で、他の２個は異なる場合）
かなりあほくさいが、数え上げたところ１１組存在する。その数字の並べ方を考えると４×３＝１２通りの並べ方があるから、１１組×１２通りの計１３２通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている。

全て異なる数字の場合）
重複組み合わせの全数から、上で求めた場合の数を引くと、２８６－１６－１８－１３２＝１２０通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている全て異なる数字の組み合わせの数。これを４！で割って、１２０／４！＝５組

以上より、
３つの数字が同じ　　　　　　　４組
２種類の数字が２個づつ　　　　３組
２個同じ数字で、他は異なる　１１組
全ての数字が異なる　　　　　　５組
で合計２３組

ということで、全ての場合を書き出す方が楽なぐらい。

【　その２　】
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０
ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
において、ｂ＝ａ＋ｂ'、ｃ＝ｂ＋ｃ'＝ａ＋ｂ'＋ｃ'、ｄ＝ｃ＋ｄ'＝ａ＋ｂ'＋ｃ'＋ｄ，（ｂ',ｃ',ｄ'≧０）とおけるので、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０　，　ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
は、
４ａ＋３ｂ'＋２ｃ'＋ｄ'＝１０　，　ａ,ｂ',ｃ',ｄ'≧０
と置き換えて、ａ,ｂ',ｃ',ｄ'の組み合わせを考えればよい。（しかしながら、だからどうしたって感じで、やはり単純には解けなかった。）
ａ,ｂ',ｃ'を決めるとｄ'は一意的に決まるので、
４ａ＋３ｂ'＋２ｃ'≦１０
となる組み合わせを求めればよい（これも実質的な絞り込みになってないのだが）。
ａ＝０，３ｂ'＋２ｃ'≦１０　・・・　１４通り
ａ＝１，３ｂ'＋２ｃ'≦６　　・・・　７通り
ａ＝２，３ｂ'＋２ｃ'≦２　　・・・　２通り
合わせて１４＋７＋２＝２３通り

以上、もう少し何か考え方があるかなーと思ったのですが・・・。
他に良い考え方があったら教えて欲しいです。