確率

質問

非常に簡単な問題だと思われますでしょうが、確率がとても苦手なので是非アドバイスを頂きたいです。

赤球６個と白球４個を異なる３つの箱に入れる方法は何通りあるか。ただし空箱があってもよいものとする。

という問題で赤球６個と白球４個と３つの箱を区分けるための仕切り二つを用いて、

12!/6!4!2!

という計算にしたのですが、正解は

8!/6!2!×6!/4!2!

といったように赤球と白球を入れるのを順番にすることで分けて計算していました。まとめてやった私の考えはどこがまずかったのでしょうか？

回答No.1

elmclose · ベストアンサー

赤球と白球とは区別され、かつ、３つの箱それぞれに、赤が何個はいるかと、白が何個入るかとは、独立な事項です。
よって、赤を３つの箱に入れる方法と白を３つの箱に入れる方法とをそれぞれ求めて、赤の方法それぞれについて白の方法を対応付けることが出来ますので、それらを掛け合わせれば求めたい解が得られます。

12!/6!4!2!　ですと、考え方としては、
例えば、
RRRRRRWWWWKK　（R:赤,　W:白, K:区切り）
と
WWWWRRRRRRKK
とを区別することになってしまいます。
上の両者は、どちらも１つめの箱に赤６個、白４個ですから、つまり同じ場合であり、これらを区別して数え上げては得たい解は得られません。

お礼

なるほど！！おっしゃるとおりです...納得しました！ありがとうございます！！

回答No.3

tarame

12!/6!4!2!＝(12!/10!2!)×(10!/4!2!)ですので、
(1)赤と白を区別しない10個を３個の箱に分ける
(2)その10個に赤６個と白４個を当てはめる
という計算になっています。

この計算の間違いは、例えば
(ア)○○○○○●●●｜○｜●
(イ)○●○●○○●○｜○｜●　の２つを考えてみましょう。
問題文では、(ア)と(イ)は同じ分け方になりますが
上記の計算では、異なるものとして数えていることになります。

区切りを入れて分ける方法は、同じ(区別できない)ものを分けるときの考え方です。
赤球と白球は、異なる(区別できる)ものですから、
それぞれを３つの箱に分けることを考えることになります。
＜追記＞
この問題では「異なる３つの箱に入れる」ですので、
箱は区別して考えることになりますよ。

お礼

まったくその通りです！ありがとうございます！！

回答No.2

sakuya-mm

私もよくその問題に騙されました！

rockman9さんの考え方では、入れる箱を区別してしまっています。つまり、例えば箱にＡ、Ｂ、Ｃと名前を付けて考えたことになっているんだと思います。

わかりにくいので、図にします。赤を●、白を○、仕切りを１と考えると、

a)●○１●●○１○●○●●
と、
b)●●○１○●○●●１●○
が別のものとして考えられているんですね。
でも数えればわかりますが、実際に箱に入る数の組み合わせは同じです。これが１個目の箱からABCと名前を付けた場合だと、a)ではＡの箱に●１個はいりますがb)では●２個と○１個・・・と違ってきてしまいます。この場合の答えは、rockman9さんの仰るとおりです。

だからこの問題の場合は白と赤を別々に考えそれを掛け合わせることで、さっきの例のように重複してしまわないようにしています。
う～ん、わかりにくい説明ですみません・・・。もっとわかりやすい方が説明されるのを待ったほうが良いかもしれません（汗

お礼

ありがとうございます！問題を理解せずに公式を乱用していたようです...