確率について

質問

確率の問題について解説を読んでも理解出来ません。

問題　
箱の中に2個の赤球と6個の白球が入っている。この中から、同時に2つの玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。

（1）　白球を2つ取り出す確率

解説
6Ｃ2／8Ｃ2＝｛（6×5）／（2×1）｝／｛（8×7）／（2×1）｝＝15／28

このCってどういう意味ですか？
なぜ6Ｃ2が｛（6×5）／（2×1）｝になるのですか？５という数字はどこからでてきたのですか？
この式の意味がどうしても理解できません。
公式をどのように当てはめたらいいのかがわかりません。

回答No.6

Ishiwara

６個の玉（ABCDEF）から２個を取り出すと、いろいろな場合があり得ます。全部書くと、
AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、
BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF
の１５とおりです。
これを「６個から２個取り出す＜組み合わせ＞の数は１５である」といいます。この言葉を数式で書くと、6Ｃ2＝１５となります。
これは（６×５×４×３×２×１）/（（４×３×２×１）×（２×１））という式で計算するのですが、これを少しラクにしたのが
（６×５）/（２×１）です。
Ｃはcombination（組み合わせ）の頭文字です。
応用問題：
６つの球団（ABCDEF）で、総当り戦をすると、試合は何回ですか？
「組み合わせ」を学ぶ前に「順列」をマスターすること。順列が分からないと組み合わせは分かりません。

回答No.5

buimiu

Ｃはコンビネーションです。
高校か中学の数学の教科書の「順列」のところに
詳しく載っております。
ＣとともにＰが重要です。

階乗はご存知ですか？？

n!=n(n-1)(n-2)・・・3・2・1

５が出てくるのは６の階乗によりでてきます。

長くなってしまいましたが教科書にて
確認をお願いします。

補足

今就職用のspiで苦戦してます。

階乗とは何の事だかさっぱりわかりません。。

回答No.4

nag0720

n個のものからm個取り出す組み合わせの数を、nCm と表記します。
このCはCombinationの頭文字です。
同様にn個のものからm個取り出す順列の数を、nPm と表記します。
このPはPermutationの頭文字です。

順列のほうが簡単なのでそっちから説明すると、
例えば、７個のものから４個取り出す順列は、
最初は、７個の中から１つを選ぶので、７通り
２番目は、残り６個から１つを選ぶので、６通り
３番目は、残り５個から１つを選ぶので、５通り
４番目は、残り４個から１つを選ぶので、４通り
したがって、７個のものから４個取り出す順列の数は、全部掛けて、
7P4=7*6*5*4=7!/3!

では、７個のものから４個取り出す組み合わせの数はいくつでしょうか。

７個のものから４個取り出す順列は 7P4 でしたが、そのうち、同じ組み合わせのものがいくつあるか数えてみましょう。
たとえば、abcdefgからabcdを選んだときの順列は、
abcd
abdc
acbd
・・・・
dcba
となりますが、これは４個のものから４個取り出す順列と同じです。つまり、
4P4=4*3*2*1=4!

したがって、７個のものから４個取り出す組み合わせの数は、
(７個のものから４個取り出す順列の数)÷(４個のものから４個取り出す順列の数)
となります。
つまり、
7C4=7P4/4P4=7!/(3!*4!)=(7*6*5*4)/(4*3*2*1)

一般式は、
nPm=n*(n-1)*(n-2)*・・・・*(m+1)*m=n!/(n-m)!
nCm=nPm/mPm={n*(n-1)*(n-2)*・・・・*(m+1)*m}/{m*(m-1)*(m-2)*・・・・*2*1}=n!/{m!(n-m)!}

ちなみに、
nP0=1
nP1=n
nPn=n!

nC0=1
nC1=n
nC2=n(n-1)/2
nCn=1
nCm=nC(n-m)
などが成り立ちます。

補足

文系の私には超難しすぎてさっぱり理解できません。

n!　←このびっくりマークはどういう意味ですか？

回答No.3

k_ort

まずＣはCombinationなので「組み合わせ」という意味です。

○○○○○○
●●

というふうに玉があります。
確率＝おこる組み合わせ/全組み合わせ（パターン全部）
なのでこの場合
確率＝白玉が２個を取り出す組み合わせ全部/赤白すべての組み合わせ
です。

さて、白玉２個を取り出す組み合わせを考えてみます。
６個の中から２個取り出す組み合わせはなん通りあるでしょう？
６個から２個取り出すので６×５のような気がします。ところが、この６つには別に区別がありません。仮に白玉にA,B,C・・と名前を付けてA,Bととったときと、B,Aととったときは一緒なので組み合わせとして除外しないと行けません。そういうわけで２×１ずつかぶるのでそれで割っています。（ちなみに３つとった場合は3×２×１分ずつかぶる）

もういちどシンプルに言うと6個の玉から２個取り出すと６×５通りのくみあわせがあります。しかし玉に区別（順序）がないので２×１通り分除外しないといけません。

全体の組み合わせを出すのもこれと同じです。
それで後は全体の組み合わせ数で割れば確率が出ます。

nCmは重要なので教科書などでよく理解しておいた方がいいと思います。

こんな説明でどうでしょう？

回答No.2

naikarik

Cは「組み合わせの数」を表す時に使う記号みたいなもの
だと思います。

異なるｎ個の球のなかから
異なるｍ個の球を取り出す取り出し方が
全部でnCm通りある

といった感じです。
nCmの計算の仕方は他の人の回答の通りだと思います。

今回の問題の場合、重複や数えもれを防ぐために
あえて赤球２つを赤１、赤２
白球６つを白１、白２、白３、・・・として
すべて異なるものと考えれば

球の取り出し方は全部で8C2通り
そのうち白球２つを取り出すのは6C2通り

だから基本的な確率の求め方通り
6Ｃ2／8Ｃ2＝｛（6×5）／（2×1）｝／｛（8×7）／（2×1）｝＝15／28

と、なるんだと思います。うろ覚えですみません。

回答No.1

nagi_szn

教科書に載っていると思いますが
自然数nに対してn!=n(n-1)…2・1で（特に0!=1と定める）
n≧mに対して、nCm=n!/(m!(n-m)!)です。

例：
6C2=6!/(2!(6-2)!)=6*5*4*3*2*1/(2*1*4*3*2*1)=6*5/(2*1)

補足

む、難しすぎてサッパリわかりません(ＴoＴ)