確率についての疑問・・・

質問

先日このような問題に出会いました。
「赤球２つ　白球２つ　黄球２つ　青球３つ　が入った袋があり、そこから無作為に３つを取り出す。このとき３色が違う確率は？」
この問題を見たとき、例えば「赤球三個から１つを取り出すとき取り出すやり方」は１通り（多分）なので４つの色から３つを選ぶ事象は4C3＝４通り、全事象は　9C3＝８４通り　で４/８４＝１/２１ 通りと考えたのですが、間違っていました。
正解は分子のほうの事象を
「赤白黄・白黄青・黄青赤・青赤白からそれぞれ１個ずつ選ぶので
　（2*2*2）+（2*2*3）+（2*3*2）+（3*2*2）」　
となっていました（全事象のほうはたぶん同じだったと思います・・）。
これは最初の「赤球三個殻１つ取り出す」の例から考えると矛盾しているのではないでしょうか。
わかりやすく説明していただければ光栄です。

回答No.3

Landolt · ベストアンサー

#1です。詳細を説明します。

今回のケースですが、まず『「赤球三個から１つを取り出すとき取り出すやり方」は１通り』という部分に大きな誤解があります。
問題中では赤球三個は「あえて区別しない」ことにしていますが、実際に確率を計算するためには「これらは区別しようと思えば区別できる」という考えのもとで考えなくてはなりません。
つまり『「赤球三個から１つを取り出すとき取り出すやり方」は３通り』となります。

以上をふまえて問題を振り返ると、赤白黄ととるやり方は、赤をとるやり方が２通り、白をとるやり方が２通り、黄をとるやり方が２通りで、合計８通りあることがわかります。残りの色でもやり方は一緒です。

余談ですが、「赤球１つ　白球１つ　黄球１つ　青球1000個の中から３つを取り出す」といわれると、４色から３色という考えは相当無理がありそうなことがわかるかと思います。

お礼

詳細の説明ありがとうございます！
なるほど「これらは区別しようと思えば区別できる」という考えのもとでやらなければいけなかったのですね。
余談の例もよくわかりました！

回答No.4

sunasearch

問題が「三色の取り出し方は何通りか？」

という「場合の数」を聞く問題であれば、おっしゃるとおり、4C3=4通りになります。

しかし、「確率」を場合の数から求める場合には、
各場合が、「同様に確からしい」という仮定が必要です。

ご質問の場合は、赤白黄・白黄青・黄青赤・青赤白
の４つの場合が起こる確率が同じ（４色の玉の数が同じ）であれば良いのですが、
青玉の数が多いので、青玉を含むほうが確率が高くなりますので、上の仮定を満たさず、単純な割り算で確率を求めることができません。

解答の方法は、No.3さんが説明されている通りです。

他の方法として、
赤白黄の順番に１個ずつ引く確率が、2/9 * 2/8 * 2/7
白黄青だと、2/9 * 2/8 * 3/7
黄青赤だと、2/9 * 3/8 * 2/7
青赤白だと、3/9 * 2/8 * 2/7

また、３色を並べる方法の数が3!通りあるので、
（赤白黄の組合せのときは、
赤白黄、赤黄白、黄赤白、黄白赤、白赤黄、白黄赤）

なので、
{（2*2*2）+（2*2*3）+（2*3*2）+（3*2*2）} * 3!/(9*8*7)
となり、解答例の式に一致します。

お礼

詳しい回答ありがとうございます！
「同様に確からしい」ですか・・・忘れてましたね。。
確かに、それぞれの確率を考えて並べ方を考える　という方法で考えてもできますね。

回答No.2

hotarana

赤玉はR１、R２、白玉はW１，W２、黄玉はY１、Y2、青玉はB１、B２，B３とすべて区別がつくようにしてる、
と考えるところから始まります。

これらの中から無作為に三個取り出す方法（分母になる）：９C３通り。
玉に区別をつくようにしておいてるので、
「３色が違う」取り出し方は、
１）赤白黄の場合：2*2*2通り
２）白黄青の場合：2*2*3通り
３）黄青赤の場合：2*3*2通り
４）青赤白の場合：3*2*2通り
したがって、質問者さんがご覧になった解答のように、
分子は、2*2*2+2*2*3+2*3*2+3*2*2となっているのです。

お礼

早速の回答ありがとうございます！
確かに言われてみればそうなのですが、「玉を区別がつくように」することで「玉を区別せず」に考えるときと確率で差が出ないのでしょうか？
また「区別せず」考えたときはどのようになるのでしょうか？
初歩的な質問で済みません。

回答No.1

Landolt

後ほど詳しく説明しますが、簡単に言うと、
「赤白黄ととる確率と青赤白ととる確率が違う」ことに原因があります。
とりあえず今回はこれだけ先に述べておきます。

お礼

お礼が遅くなって済みません。早速のご回答ありがとうございます。