極限（基礎問題）

質問

見にくいかと思いますが、よろしくお願いします。
x→＋∞の時√(x^2+x)-√(x^2-x)をまず有理化するのが定石だと思われますが、これを有理化せずに直接ｘでわると答えが間違えてしまうのはなにかルールがあるのでしょうか？そして、直接ｘでわると答えが0になりました。しかし、有理化した後にｘでわると1になります。
やはり、ルートが出た場合は、どんな場合でも最初に有理化なのですか？？よろしくお願いいたします！

回答No.4

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞やはり、ルートが出た場合はどんな場合でも最初に有理化なのですか

それがいいと思います。戦略は単純な方が良いでしょう。

「有理化して lim を取る」これさえ気を付けて問題を解きまくれば
すぐにできるようになるでしょう。数IIIはパワーが大切です。
いくらテクニックを教わっても、ひ弱な人は問題が解けません。
沢山問題を解いて、いつでもどこでも「√を見たら有理化して lim を取る」
で頑張って見てください。他の分野も（微分でも積分でも）やり方は同じです。
ポイントをつかんだら、問題解きまくりってことで。

＞答えが間違えてしまうのはなにかルールがあるのでしょうか
練習がまだ足りないのでしょう。ちょっとミスしてます。

ここでちょっとしたテクニックを。
√の中を平方完成して√と２乗をキャンセルしてみて下さい。
√(x^2+x)-√(x^2-x)
＝√(x+1/2)^2-1/4 - √(x-1/2)^2-1/4
≒(x+1/2)-(x-1/2)（近似）
≒1 (答え)

慣れれば暗算です。では。

お礼

回答ありがとうございました。
わかりやすい説明の上に、アドバイスまで頂けて光栄です。
確かに、まだまだ練習量が少ないのは否定できません。
これからもっと問題を解いていきます。ありがとうございました！

回答No.3

kkkk2222

>>直接ｘでわると

単なる（錯覚）です。

Ｐ＝{√(x^2+x)-√(x^2-x)}≠{√(x^2+x)-√(x^2-x)}/x

どうしても、xでわるならば、分子にも　ｘ　を掛けねばなりません。

Ｐ＝{√(x^2+x)-√(x^2-x)}＝x{√(x^2+x)-√(x^2-x)}/x

しかし、この変形は不定形を解消できないので、
無意味な変形です。

問題によって、不定形を解消する様々な技巧があります。
＜ロピタルの定理（高校では使用禁止）＞が著名ですが、
この問題では使えません。

その技巧のひとつが、
（分子の有理化）です、
他の方法もありますが（牛刀）となります。
（分子の有理化）が（最速）となります。

ちなみに、
Ｑ＝１/{√(x^2+x)-√(x^2-x)} ならば、
（分母の有理化）となります。

>>ルートが出た場合は、どんな場合でも最初に有理化なのですか。

具体的な数式が、与えられていないので、
回答はできません。

お礼

回答ありがとうございました。
単なる錯覚ということは、やはり問題をまだまだ理解できていない状態ですね。やはり、有理化して問題を解くのが一番の早道ということがわかりました。もう少し理解が深まってから、ほかの方法をいろいろと試してみたいと思います。ありがとうございました！

回答No.2

info22

(評価式)=(∞-∞)型の時
x*{(評価式)/x}
として{(評価式)/x}=(1+ε)-(1-ε)=2ε→0 (x→∞)
となったとしても
x*{(評価式)/x}=x*(2ε)→∞*0型 (x→∞)
となり何も解決していません。
これをx*0=0 (x→∞) と勘違いして見えませんか？

定石は、過去の先輩たちが見出した優れた解法が定石となっているわけですから、まず、（分子の）有理化をして、分子分母の極限値がともに定数なる変形を素直に行って下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
僕には少し難易度が高かったみたいで、回答を読ませていただきましたがちんぷんかんぷんでした。
しかし、丁寧な回答ありがとうございます。これから、もっと問題を解いてその後でまた確認させていただきます。

回答No.1

koko_u_

>これを有理化せずに直接ｘでわると答えが間違えてしまう
どんな計算過程か補足欄にどうぞ。

正しい答えを知るのではなく、自分がどこを間違えたのかを知ることが重要です。

お礼

回答ありがとうございます。
質問内容が不十分で申し訳ございませんでした。
これからは、間違えた過程をしっかり噛み砕いていきたいと思います。