- ベストアンサー
代数の体の計算問題について、教えてください。
次の問いをご教授願います。 問題 ｘ＝i＋√3と置く。有理数ｋに対して、以下の問いに答えよ (1)√3を、ｘの３次以下の有理係数多項式で表せ。 (2)iを、ｘの３次以下の有理係数多項式で表せ。 (3)1/2+i＋√3を、ｘの３次以下の有理係数多項式で表せ。 です。 最小多項式が、ｘ＾４－４ｘ＾２＋１６＝０になることは、求められましたが、上記の問題の答えが下のようになる解法手順がわからずに困っています。 (1)√3＝｛－(ｘ＾3)/8｝＋ｘ (2)i=(ｘ＾3)/8 (3)1/2+i＋√3=－(x^3－2x^2)/16 ご教授願います。宜しくお願いします。
- ga2z
- お礼率2% (3/104)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) について y = 3^(1/2) とする。 x- y = i だから、 (x-y)^2+1 = 0 x^2 - 2xy + y^2 +1 = 0 x^2 - 2xy + 4 = 0 y = (1/2) (x^2 + 4 ) *(1/x) ここで、1/x = (-1/16)x^3 + (1/4)x （参考参照）だから、 y = (1/2) (x^2 + 4 ) *((-1/16)x^3 + (1/4)x) = -(1/8)x^3+x となる（x の 4 次以上の項は最小多項式を使って消せる）。 (2) について 3^(1/2) と i を入れ替えれば、上と同様の方法で計算できる。 (3) について 上の２つの和に 1/2 を足せばよい。 （参考） 1/x の計算 1/x = ax^3 + bx^2 + cx + d とすると、 x(ax^3 + bx^2 + cx +d) - 1 = 0 bx^3 + (4a+c)x^2 + dx - 16a-1 = 0 （最小多項式を使って 4 次以上の項を消した） となる。x の最小多項式が 4 次だから、左辺の 3 次式が 0 になるためには、各係数が 0 でなければならない。よって、 b = 0 、 4a + c = 0 、d – 0 、16a + 1 = 0 を得る。これから、a、b、c、d が求まる。
関連するQ&A
- 代数の問題を教えてください。
代数の問題を教えてください。 1.√2+√5を根に持つ有理数係数の4次多項式を求めよ 2.√2+√3+√5を根に持つ有理数係数の8次多項式を求めよ 3.aを有理数とする。1/(a+√2+√3)の分母を有理化せよ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数の既約多項式の問題です。
代数の既約多項式の問題です。 a_n(x^n)＋a_n-1(x^n-1)～＋a_2(x^2)＋a_1(x)＋a_0=0 （a_0,a_1,・・・a_n∈Q:有理数） が既約とする。この方程式の解がn次未満のQ係数多項式の解とはならない事を示せ。 既約多項式:これ以上約せない多項式 わかる方いましたらよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の、多項式の問題を教えて下さい。
f(X)=X^n+a1・X^(n-1)+a2・x(n-2)+・・・+an∈Z[x]を、最高次の係数が1の整数係数のn次多項式とする。 (1)Aが有理数でf(A)=0を満たす場合、Aは整数である事を示しなさい (2)Aが整数でf(A)=0を満たす場合、Aはanの約数である事を示しなさい。 (3)aは整数でa≠0,2であるとする。X^3-aX-1はQ[X]の既約多項式である事を示しなさい。 という問題です。 困っています。 分かる方、お願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数の体論の計算問題について教えてください。
ご教授、宜しくお願いします。 問い 次の数は、有理数体Q上で、代数的であることを証明せよ。 (1)√３＋³√２ (2)√２＋√３+√５ 解答 (1)√３＋³√２は、ｘ＾６－９ｘ＾２－４ｘ＾２＋２７ｘ＾２－３６ｘ－２３ の解である。 (2)√２＋√３+√５ は、x＾８-４０X＾６+３５２X＾４-９６０X＾２+５７６ の解である。 ある値aが解となるような方程式を見つけることが、代数的証明ぼ方針であることは、わかりましたが、(1)と(2)の値が、上記の方程式を満たすことがわかるためには、どのように解けばよいのでしょうか。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数の環の分野の問題です
代数の環の分野の問題です 可換環Rが与えられたとき文字Xを不定元とする R係数の多項式は p(X)=a_nX^n＋a_n-1X^n-1＋…＋a_1X＋a_0 =Σ(i=0からｎ)a_iX^i (a_i∈R） なる形のものです Xを不定元とするR係数の多項式全体の集合は可換環をなしこの可換環をR[X} とします R[X_1X_2,…,X_n]=(R[X_1X_2,…,X_n-1])[X_n] が定義され R[X_1X_2,…,X_n]をＲ上のｎ変数多項式環、 その元をＲ係数ｎ変数多項式というとき ｎ変数多項式は整理すると Σ_(0≦i_1,i_2,…,i_n) a_i_1i_2…i_nX_1^i_1X_2^i_2…X_n^i_n (a_i_1…a_i_n∈Ｒで和は有限和）とかける ことを示したいです 教えてください 文章分かりにくくてごめんなさい
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学、代数の問題を教えてください。
数学、代数の問題を教えてください。 文字の直後の数字は添え字です。 1. β1=1,β2=√2,β3=√5,β4=√10 とおき，a,b,c,d を有理数とするとし α=a+b√2+c√5+d√10 とおく。４次行列 M=[mij](ijは添え字)の各成分を次のように定義する。 ・αβ1=m11β1+m21β2+m31β3+m41β4 ・αβ2=m12β1+m22β2+m32β3+m42β4 ・αβ3=m13β1+m23β2+m33β3+m43β4 ・αβ4=m14β1+m24β2+m34β3+m44β4 (a)行列 M とその行列式と固有方程式を求めよ。 (b) α の最小多項式を求めよ。 2. α を代数的数で、そのＱ上の最小多項式を X^4+X^3a3+X^2a2+Xa1+a0 とする。ここで係数は有理数である。 γ1=1,γ2=α,γ3=α^2,γ4=α^3 とおき、4次行列 M´=[mij]の各成分を次のように定義する。 ・αγ1=m11γ1+m21γ2+m31γ3+m41γ4 ・αγ2=m12γ1+m22γ2+m32γ3+m42γ4 ・αγ3=m13γ1+m23γ2+m33γ3+m43γ4 ・αγ4=m14γ1+m24γ2+m34γ3+m44γ4 (a)行列 M´ とその行列式と固有方程式を求めよ。 (b) α の最小多項式を求めよ。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学、代数の問題を教えてください。
数学、代数の問題を教えてください。 文字の直後の数字は添え字です。 1. β1=1,β2=√2,β3=√5,β4=√10 とおき，a,b,c,d を有理数とするとし α=a+b√2+c√5+d√10 とおく。４次行列 M=[mij](ijは添え字)の各成分を次のように定義する。 ・αβ1=m11β1+m21β2+m31β3+m41β4 ・αβ2=m12β1+m22β2+m32β3+m42β4 ・αβ3=m13β1+m23β2+m33β3+m43β4 ・αβ4=m14β1+m24β2+m34β3+m44β4 (a)行列 M とその行列式と固有方程式を求めよ。 (b) α の最小多項式を求めよ。 2. α を代数的数で、そのＱ上の最小多項式を X^4+X^3a3+X^2a2+Xa1+a0 とする。ここで係数は有理数である。 γ1=1,γ2=α,γ3=α^2,γ4=α^3 とおき、4次行列 M´=[mij]の各成分を次のように定義する。 ・αγ1=m11γ1+m21γ2+m31γ3+m41γ4 ・αγ2=m12γ1+m22γ2+m32γ3+m42γ4 ・αγ3=m13γ1+m23γ2+m33γ3+m43γ4 ・αγ4=m14γ1+m24γ2+m34γ3+m44γ4 (a)行列 M´ とその行列式と固有方程式を求めよ。 (b) α の最小多項式を求めよ。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます