数学、代数の問題を教えてください。 -数学、代数の問題を教えてください。 -

数学、代数の問題を教えてください。

数学、代数の問題を教えてください。文字の直後の数字は添え字です。 1. β1=1,β2=√2,β3=√5,β4=√10 とおき，a,b,c,d を有理数とするとし α=a+b√2+c√5+d√10 とおく。４次行列 M=[mij](ijは添え字)の各成分を次のように定義する。　　・αβ1=m11β1+m21β2+m31β3+m41β4 　・αβ2=m12β1+m22β2+m32β3+m42β4 　・αβ3=m13β1+m23β2+m33β3+m43β4 　・αβ4=m14β1+m24β2+m34β3+m44β4 　　(a)行列 M とその行列式と固有方程式を求めよ。　(b) α の最小多項式を求めよ。 2. 　α を代数的数で、そのＱ上の最小多項式を X^4+X^3a3+X^2a2+Xa1+a0 とする。ここで係数は有理数である。　　γ1=1,γ2=α,γ3=α^2,γ4=α^3 とおき、4次行列 M´=[mij]の各成分を次のように定義する。　　・αγ1=m11γ1+m21γ2+m31γ3+m41γ4 　・αγ2=m12γ1+m22γ2+m32γ3+m42γ4 　・αγ3=m13γ1+m23γ2+m33γ3+m43γ4 　・αγ4=m14γ1+m24γ2+m34γ3+m44γ4 　(a)行列 M´ とその行列式と固有方程式を求めよ。　(b) α の最小多項式を求めよ。よろしくお願いします。

代数の問題を教えてください。

代数の問題を教えてください。 1.√2+√5を根に持つ有理数係数の4次多項式を求めよ 2.√2+√3+√5を根に持つ有理数係数の8次多項式を求めよ 3.aを有理数とする。1/(a+√2+√3)の分母を有理化せよ。よろしくお願いします。

線形代数（大至急その２)

n次の正方行列Ｍが与えられたとき、その行列が空間V＝R＾ｎからVのある部分空間への正射影を対応させる変換を表す行列であるための必要十分条件は、Ｍ＾２＝MかつＭ＾ｔ＝Mであることが知られている。問(1)条件M＾２＝Mはどのような意味であるかを変換の観点から簡単に説明せよ。　　　　　　　　　　　　問(2)ｎ＝３のとき、行列M＝|x1 x2 x3|(a,bは実数),(x1=(1-a a a)^t、x2=(a b b)^t、x3=(a b b)^t) 形で正射影を対応させる行列は三つある。それらの行列M1、M2、M3を求めよ。問(3)：問(2)で求めた三つの行列M1、M2、M3の固有値が０と１に限られることを示し、固有値１に対する固有値ベクトルをそれぞれ示せ問(4)：問(2)で求めた三つの行列はそれぞれV＝R＾３からどのような空間への正射影を対応させているかを問(3)の結果と関連つけて説明せよよろしくお願いします。　　　　　　　　　　　　

大学数学の問題です。

代数学の問題なんですが、次の数αの有理数体上の最小多項式を求めよ。 1. α=2cos2π/7 2. α=2cos2π/9 解りません。お願いします。

代数の既約多項式の問題です。

代数の既約多項式の問題です。 a_n(x^n)＋a_n-1(x^n-1)～＋a_2(x^2)＋a_1(x)＋a_0=0 （a_0,a_1,・・・a_n∈Q:有理数）が既約とする。この方程式の解がn次未満のQ係数多項式の解とはならない事を示せ。既約多項式:これ以上約せない多項式わかる方いましたらよろしくお願いいたします。

代数学で困ってます

数学の問題なのですが、「線形変換Ｔに関して、これの固有値が全て０とすると、その行列の最小多項式がX^mとなること」を証明したいです。最小多項式は固有多項式を割る事を使えば簡単なのですが、これを使わないとするとどうすれば証明出来ますか？

線形代数の証明問題です！

線形代数（最少多項式について）の証明問題です。どうしても解りません・・よろしくお願い致します。「ｎ次正方行列 P１，P２，…，Pｎが条件 Pi＾２＝Pi≠O (i=1,2,…，n) PiPj=O (i≠j, 1≦i≦n, 1≦j≦n) ∑Ｐｉ＝Ｅ（ｉは１からｎ） (但し、Oはn次零行列、Eはn次単位行列とする。) を満たすとする。次に、互いに異なる実数 a1, a2,…,an に対し、行列Ａを A=∑ａｉＰｉ（ｉは１からｎ）で与える。この行列Aについて次の命題を証明せよ。」命題１ X を変数ベクトル、B を定ベクトルとする。連立一次方程式 AX=B が解をもつための必要十分条件は、ａｉ=0を満たす全ての番号 i に対して Pi B=0 が成り立つことである。命題２ Aの最小多項式は (x-a1)(x-a2)…… (x-an) となる。

線形代数の問題の解き方を教えてください。

線形代数の問題の解き方を教えてください。 2次形式f(x1,x2)=x1^2 + 2x2^2 をベクトルX=(x1,x2)T および行列Aを用いてXTAXと表すものとする。 (1)Aを求めよ (2)行列Aの固有値λ1,λ2 および固有ベクトルX1,X2を求めよ。ただしλ1>λ2とし、固有ベクトルは長さを１に正規化するものとする。 (3)f(X1,X2)を求めよ。 (4)f(X3)を求めよ。ただしX3=(1-α)X1+αX2,0≦α≦1とする。またf(X3)を最小とするαを求めよ。という問題なのですが、簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

代数の問題についてです。

以下の代数の問題について教えてください１．Ｑ（√２、√３、√５）＝Ｑ（√２+√３+√５）となることを示せ。２．[Ｑ（√２、√３、√５）: Ｑ]をもとめよ３．√２+√３+√５のＱ上の既約多項式（最小多項式）を求めよ４．ωをｘ＾２＋ｘ＋１の根としたときＱ（３√２（以下、これは２の３乗根）、ω）の自己同型写像であって３√２とωを入れ替えるものが存在するか？５．Ｆ⊂Ｂ⊂Ｅ:体の塔、Ｂ: ｆ（ｘ）∈Ｆ[x]のＦ上の分解体、Ｅ: ｇ（ｘ）∈Ｆ[x]のＦ上の分解体とする。このとき、写像Ψ : Gal(E/F) → Gal(B/F) ＜σ → σ｜B＞は全射であることを示せ。

線形代数の問題です

線形代数の問題です。いろいろ考えましたがわからないので教えて下さい。ベクトルa1,a2,a3が次のように与えられている。ここで、記号tは転置記号であり、a1tは行ベクトルになる。 a1=(1 0 1),a2=(1 1 -1),a3=(-1 2 1)（縦に並べてある） A=a1a1t+(1/3)a2a2t-(1/6)a3a3t 1)行列Aの行列式の値と逆行列を求めよ 2)行列Aの固有値とそれに対応する固有ベクトルを求めよ 3)部分空間{x|x=t1a1+t2a2,t1,t2∈R}内の点xの関数(x-a3)tA(x-a3)の最小値とその最小点を求めよ。自分の回答 1)行列A=(1/6) [7,4,5] [4,-2,-4] [5,-4,7] 行列式の値はー2 逆行列は掃き出し法で求め、 5/72 8/72 1/72 21/144 29/532 -8/72 -1/72 -22/216 5/72 2) 固有値は2,±1 λ=1の時固有ベクトルはk1(1　-1　-1)　(縦ベクトル） λ=-1の時固有ベクトルはk2(1　-2　-1)　(縦ベクトル） λ=2の時固有ベクトルはk3(1　0　1)　(縦ベクトル） 3)はどうすればよいかわかりません。 3)だけでも良いので詳しい方解答・解説をおねがいします。自分の求めた値は逆行列以外は切れの良い値になっているのでおそらくあっているのではと…

代数学について

代数学の定理で以下のようなものがありました． αを体Kの拡大体の元とする．このとき， αがK上代数的である⇔K[α]=K(α) ただし， K[X]：K係数のXについての多項式全体の集合（多項式環） K(α)：K係数のXについての有理式全体の集合（有理関数体）です．この証明ですが，画像のように書いてあります．はじめて見た記号で分かりません．（本当はこの記号ではないかもしれませんが，こんな感じの形をしています）これが分からなくて困っています．よろしくお願いします．

線形代数の収束問題　3日悩んでます

初めまして。3日間同じ問題に悩み続けて、教えてgooに初めて投稿させていただきます。線形代数の収束の問題です。本当に困っているので、助けてください。よろしくお願いします。 m×m（m>1）の実行列Aに関する以下の命題が成立する場合は証明、成立いなければ反例を具体的に述べろというものです。 ||Ｘ||はＸ＝t(x1,x2,x3,・・・ｘｍ)に対して、√（ｘ１^2+ｘ2^2+ｘ3^2+・・・+xmｘ^2）を表しています。（３）Aが相異なるm個の実固有値を持つ時、以下で定まるベクトルの列　U0,U1・・・、は任意のm次元実ベクトルbに対して収束する U0=b Un+1=AUn/||AUn|| (||AUn||　not equal 0の時) 　　　　=0 (||AUn|| = 0の時)　　　　　　　　（n=0,1,2・・・）（４）Aの固有多項式がm重根を持ち、それが正の実数の時、以下で定まるベクトルの列　U0,U1・・・、は任意のm次元実ベクトルbに対して収束する U0=b Un+1=AUn/||AUn|| (||AUn||　not equal 0の時) 　　　　=0 (||AUn||=0の時)　　　　　　　　（n=0,1,2・・・）（※この問題の前に2題の証明問題があり、私が解いてみました。１、Aが相異なるm個の実固有値を持つ時、対応する固有ベクトルは線形独立であるか ⇒線形独立である２、Aの固有多項式が重根を持つとき、Aは対角化可能ではないかどうか ⇒その重根の重複度がその固有値の固有空間の次数に等しい時のみ、対角化可能である）おそらく（３）は反例として以下があるかと考えています。 A= (-1 0) ( 0 0) b= (1) (0) このとき， u_n= ((-1)^n) (0 ) （４）固有値αが１より小さい時に、ジョルダン標準形が０に収束することが背景にあるのかと考えていますが、全くわかりません。以下稚拙な文で読みづらいかと思いますが、お力を貸していただけないでしょうか。回答お待ちしております。

線形代数の問題

こんにちは、お世話になります。以下の2問についてですが 1. π_nをn次多項式空間とし、f:π_n→π_nとする,f(p)=p-∫p(0→1)は一次写像ならば、fの核と像を求めよ。また、fは同型写像であるか。基底｛1,x^2,x^3,…,x^n｝に対して、fを表す行列A_fを求めよ。　核は、定数とすぐにわかるのですが、像の求め方、また同型写像であるか否かと行列の求め方がわかりません。 2.Aが(m,n)行列、b∈R^m∩Im(A)のとき、Ax=bの解全体がアフィン部分空間を成すことを示せ。 2については何をどうすればいいのか、検討もつきません。どなたかわかりやすくご指導いただけると幸いです。よろしくお願いします。m(__)m

互いに素なら積とも素であるの証明

以下でm1というのはmに添え字の（小さな）1をつけたものという意味です。問題 m1,m2,m3を自然数とし、m1,m2とm1,m3はそれぞれ互いに素とする。このとき、m1,m2m3（m2とm3の積）もまた互いに素である。代数学の入門書を読んでいてこの問題に当たりました。教えて！gooを検索して、素因数分解の一意性定理で簡単に証明できることがわかりました。（質問番号： 3913988）どうもありがとうございました。ところで、それ以前から別の証明を考えていました。【定理】自然数m,nの最大公約数をdとすると、d=am+bn を満足する整数a，bが存在する。を使って、 1=a1m1+b1m2, 1=a2m1+b2m3 という式を立てました。この二つの式を掛け合わせて、1=a3m1+b3m2m3 の形を導きたいのですが、私にはできませんでした。上の式を導くにはどうしたらいいでしょうか？よろしくお願いいたします。

数学の問題です。助けてください！

固有多項式φA(x)=(x-1)(x-4)(x+4)(x+1) (1)Aの固有値をもとめよ。 (2)Aのトレースを求めよ。 (3)Aの行列式の値を求めよ。 (4)Aは対角化可能か？その理由も述べよ。 (5)A^5をA^3,A^2,A,Eの一次結合で表せ。多いですが一問だけでもいいのでよろしくお願いします。

線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでし

線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでしょうか。よろしくお願いします。問題　ｍ次複素正方行列　A　＝　（aij）、ｎ次複素正方行列　B　＝　（ｂkl）、　ｍ×ｎ複素行列　　　　C　＝　（ｃil）　が与えられたとき、ｍ×ｎ複素行列　X　＝　（ｘil）　に対する方程式　　　　　　　　　　　　　　　AX－XB＝C 　　　を考える。　　　ただし、aijは行列Aのi行j列の成分を表す。bkl、cil、xilも同様とする。　　　このとき以下の質問に答えよ。　　　　　　１、　行列A、Bがそれぞれ上三角行列の場合、任意の　i　＝　１、２、・・・、ｍ　　と　　ｋ　　　　　　＝１、２、・・・、ｎ　　に対して、　　　　　　aii 　＝　bkk　が成立するなら、行列Xが一意に定まることを示せ。　　　　　　２、　一般に、行列Aと行列Bが共通の固有値を持たないならば、行列Xは一意に定まることを示　　　　　　　せ。　　　　　　ここで、適当な正則行列U、Vが存在して、UAU＾、VBV＾がそれぞれ上三角行列になるとい　　　　　　う事実を用いてよい。ただし、U＾とV＾は、それぞれUとVの逆行列を表す。　　　３、　ｍ＝ｎとする。行列Aを対角化可能、行列Cをエルミート行列とし、　　　　　　　　　　　B＝－A※ 　　　　　　と選ぶ。　　　　　　このとき、行列Xが一意に定まる場合、X＝X※であることを示せ。ここで、A※とX※はそれ　　　　　　ぞれ行列AとXのエルミート共役をあらわす。

数学の問題です。お願いします。

以下の問題を解いてください。 f(x)=Ax,A=[a1,a2,a3] = 611 [041] 004 Aは三行三列の行列です。 (1)Aの固有値を求めよ。 (2)Aの最小多項式を求めよ。 (3)Aは対角化可能か？その理由も述べよ。 (4)ker(f)を求めよ。 (5){a1,a2,a3}を正規直行化せよ。途中式もお願いします。どれか一問でもいいです。

線形代数の問題が解りません。

線形代数の問題が解りません。線形代数の問題が解りません。宜しかったら教えてください。 1.次のシステムを考える x(t)= A x(t) + b u(t)　　　・・・I xに上点あり A=[1 0 0 0;0 -1 0 1;0 0 -1 0;2 0 -1 -1] b=[-1 1 0 -1]の転置 y(t)=c x(t)　　　　　　　　・・・II　　　　　　　　　　　　 c=[1 0 1 0] 1-1. このシステムの可観測行列をMとするとき、rank=2を示せこれは可観測行列M=[c cA cA^2 cA^3]の転置　となるので、行基本変形で M=[c cA cA^2 cA^3] =[1 0 1 0;1 0 -1 0;1 0 1 0;1 0 -1 0] ・・・ =［1 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0;0 0 0 0］と変形でき、rankM=2となり、ここまでは何とかわかりました。 1-2．KerMの基底ベクトルω3、ω4を求めよ 1-3．ベクトルω1、ω2をω1、ω2、ω3、ω4がR^4の基底ベクトルとなるように定めよ 1-4．T=[ω1 ω2 ω3 ω4]とおく。状態変換x(t)=Tx(t) (右辺のxの上には~あり) によって、状態方程式Iと出力方程式IIはそれぞれどのような式へと変換されるか 1-5．このシステムの伝達関数を求めよ 1-6．システム(A,b,c)の極、および、伝達関数G(ｓ)の極を求めよ 2．Mをk*l行列とする。 2-1　Mの像Im M がベクトル空間R^kの部分空間となることを示せ 2-2　Mの核Ker M がベクトル空間R^lの部分空間となることを示せ 1－5、6については前の定義にシステム(A,B,C)の伝達関数G(ｓ)は G(ｓ)＝C(sI-A)^(-1)B= C adj(sI-A)B/det(sI-A) と表せるから s=pが伝達関数G(s)の極なら、s=pがシステム(A,B,C)の極である、とあるのですが、よく意味が解りませんでした。関係がなかったらすみません。どなたかわかる方がいましたら、一問でも構いませんので具体的な解き方も含めて教えてください。宜しくお願いします。

高校数学の問題

２次関数ｆ（ｘ）＝－２Ｘ二乗－８Ｘ+a二乗、ｇ（x）＝X二乗－２ｂｘ＋ｂ二乗＋ｂ－９があり、０＜ｘ＜３における関数ｇ（ｘ）の最小値は、－４である。ただし、a,bは正の定数とする。（１）y＝ｆ(x)のグラフの頂点を求めよ。（２）bの値を求めよ。（３）－a＜x＜０における関数ｆ（ｘ）の最大値をM1,０＜x＜２aにおける関数g（x）の最大値をM2とする。　　　M1＝M2であるaの値を求めよ。うまく表記できませんが、おわかりになりますか？ｘの範囲記号＜の下にはいずれも＝がつきます。

代数学　行列の問題です。

代数学 n>2のときｎ次正方行列Aの余因子行列をB、Bの余因子行列をCとする。 Aは行列式が０でかつAの第ｎ行はすべて０であるならば、Cは零行列であることを示せという問題です。回答の方針やヒントなどでもいいのでお願いします

数学、代数の問題を教えてください。

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