極限の求め方を教えてください。大学受験

質問

よろしくお願いします。

（（２√ｘ）-1）／e^ｘのｘ→－∞のときの極限の求め方を教えてください。

普通極限を求めるときには、ｘにその値を代入すると思いますが、この問題の場合ｘはルートの中にありますが、ルートの中は常に＋のはず。それでも－∞を代入するのでしょうか？

私が自分の方法でやるとなぜか答えが二つでてきました・・・。

１．分母が分子より明らかに大きいので極限は０．

２．ｘ＝－ｔと置き換えると
ｔ→＋∞のとき（（２√-ｔ）-1）／e^－ｔ
⇔（（２√-ｔ）-1）e^ｔ＝＋∞

増減表を書くと＋∞は明らかにおかしいような気がしますが、どこが間違っているのかわかりません・・・。

どなたかアドバイスいただけませんか。よろしくお願いいたします。

回答No.5

postro

こういう場所での解答は、必ずしも全部が正しいわけではない。
このことは承知でご質問されていると思います。（でなければ今すぐ承知すべきです）
矛盾した複数の解答は質問者さん自身で取捨選択する必要があります。

お礼

postroさまstomachmanさま、ご回答ありがとうございました。今回の私の疑問点はｘ→－無限大のときにどうなるのか、という一点でした。その結果ルート内≧で考えるので、そもそもｘ→－∞については考えなくてよいということでした。その点に気づけてこの質問をした甲斐がありました。お二人とも真剣にご回答いただきありがとうございました。

回答No.4

stomachman

ご質問の文章を読む限り、よもや式を写し間違えたとは思えませんが、しかし今一度、問題を確認なさった方が良いかもしれません。なにしろ低級数学の世界ではあり得ない問題らしいですから。

回答No.3

postro

ｘの方程式２√ｘ＝１+ｋe^ｘ　は負の解を持たないことは一目でわかります。
だってxが負のときは左辺は虚数、右辺は実数（kは実数でしょ？）だから絶対イコールで結べない。
そんなことを考えなくても、普通は「ｘの方程式２√ｘ＝１+ｋe^ｘ」という問題が出たら「√ｘ」に注目してｘの定義域は（ｘ≧0）である、と断定してかまいません。つまり「xが負」は定義域から、はずれています。
話は少しずれるかもしれませんが、y=√ｘ のグラフを描くときはxが負のときのことなんか心配しないでしょ？
さらに話がずれるかもしれませんがy=log(x-1) のグラフを描くときも　ｘ≦1　のことは心配しないでしょ？そこは定義域から、はずれているのです。
というわけで、「ｘの範囲がｘ≧０なので、－∞は考えなくていい」のです
この場合、グラフはｘ≧０の範囲だけを心配して描けばよいです。

回答No.2

stomachman

極限に「大小関係」なんざ本来関係ないです。-1の平方根をiと書いて虚数単位と呼びます。
((2i√t )-1)(e^t)のt→∞での極限はもちろん存在しませんが、それは√の中が負になったからなんかじゃありません。

　ところで「１.分母が分子より明らかに大きいので０」ってのは、変てこですね。(1)どこをどう見ると「明らか」なんでしょうか。(2) -1/x のx→∞での極限も「分母が分子より明らかに大きい」わけですが、極限は０じゃないでしょ。

回答No.1

postro

ルートの中が負になってはまずいでしょう。
（虚数に大小関係はないです）
「問題が間違えている」に一票投じます

補足

この問題はもともと極限を求める問題ではありません。
もともとの問題は、
ｘの方程式２√ｘ＝１+ｋe^ｘが異なる実数解を二つもつようなｋの値の範囲を求めよです。

解答は、定石どおり定数分離し、
ｇ（ｘ）＝（（２√ｘ）-1）／e^ｘ（ｘ≧0）
のグラフを書いて、ｋの範囲を求めています。
（実はｇ（ｘ）のｘの範囲が（ｘ≧0）となっているのもなぜだかわからないですが。）

ということで、グラフを書く必要があるので、極限を求めたかったのですが。

ただルートを使うことにかわりはありませんが、なぜかｇ（ｘ）のｘの範囲がｘ≧０なので、－∞は考えなくていいんでしょうが、問題文には、ｘ≧０とはないので、自分は、ｘ→ー∞のときを考えました。で、こんな場合はどうなるんだろう？と。

みなさんの意見だと大学受験では虚数問題におけるｘ→－∞はないと考えていいのでしょうね。でも、問題文にそう書いてあれば考えないですみますが、書いてないと当然ｘ→ー∞のときも考えてしまいます。どうしてｇ（ｘ）のｘの範囲がｘ≧０なのでしょう？