極限値をお願いします

質問

極限値をお願いします

lim[x→2] (2x^2-x-6)/(3x^2-2x-8)

有理化をするようなのですが、やり方がどうにも分かりません。

答えは7/10です
途中式もお願いします

回答No.1

flex1101 · ベストアンサー

分子と分母についてそれぞれ因数をとります。

分子
2x^2-x-6 はx=2で0になるので(x-2)で因数をとれます。
2x^2-x-6 = (x-2)(2x+3)

分母
3x^2 - 2x - 8もx=2で0になるので(x-2)で因数をとれます。
3x^2-2x-8 = (x-2)(3x+4)

与式= lim[x->2] (x-2)(2x+3) / { (x-2)(3x+4) }
= lim[x->2] (2x+3)/(3x+4)
分子と分母のxの部分に2を入れると
与式 = (2*2+3)/(3*2+4) = 7/10

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なお補足として
2x^2 - x - 6を(x-2)で割り算する方法は
2x^2 - x - 6に対して(x-2)に"2x"をかけると2x(x-2) = 2x^2 - 4x
となるので
2x^2 - x - 6 - (2x^2 - 4x) = 3x - 6

3x - 6は(x-2)に対して"3"をかけると3 (x-2) = 3x - 6
となり
3x - 6 - {3 (x-2)} = 0
となり、割り切れました。

上の"2x"と"3"を足し合わせた2x+3が 2x^2 - x - 6を(x-2)
で割った答えとなり、
2x ^2 - x - 6 = (x-2)(2x+3)
とできることが分かります。

お礼

回答有難う御座いました。

回答No.2

info22_

>有理化をするようなのですが、やり方がどうにも分かりません。
有理化ではなく因数分解です。
分子、分母に共通因数(x-2)がありますので、分子と分母を因数分解して下さい。
そして分子と分母に共通な因数(x-2)で約分して下さい。
すると
(2x+3)/(3x+4)
となりますので、ここでlim[x→2]を取れば答えの「7/10」が出てきます。

お礼

回答有難う御座いました。