- ベストアンサー
大学院レベル、極限の不思議な近づき方
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- aquarius_hiro
- ベストアンサー率53% (194/360)
jlglgさん、こんにちは。 50万項というと、n = 500 000 ということですよね。 ANo.1さんのように、プラスマイナスの二つずつをまとめて一般項を書き直すと、和 S(n) の次の項 a(n+1)は O(1/n^2) ですが、これは次の一つの項だけであり、誤差はその無限までの和になるので、 誤差 R(n) ～ S(∞) - S(n) ～ ∫_n^{∞} 1/x^2 dx ～ 1/n と見積もれます。したがって、 1/n=1/500000=2×10^{-6} = 0.000 002 ぐらいの誤差があるということになり、これに係数もかかりますので、3.141 59 の次に誤差が出るのは、不思議ではないと思いますよ。 それで他のところが合っている理由ですが、小数の桁の上から順番に答えが一致していかないといけないともいえないのて、途中が合うのは不思議ではないかもしれません。何しろ50万項も計算しているのですから。
- Matix
- ベストアンサー率33% (5/15)
計算誤差が重なって、偶然にも同じ桁がたくさん出たということでは。 計算する項数を変えたり、計算する進法を変えたり、コンピュータ内の数値表現を変えれば、違う結果が出るかもしれません。 コンピュータで正確な計算をするのは難しいです。 少なくても、10進数表記で正確に計算するなど不可能です。 これはp進数表記でも同様です。 例えば、1/3 = 0.33・・・と3がずっと続きますが、コンピュータでは無限に続けることはできないので、どこかで打ち切らないといけません。3が100個で終わり、とか。これで誤差が発生します。 また、値の近い数字を足して引いてしまうと、桁落ちを起こしてしまいます。つまり、有効数字がさらに減ってしまう可能性があるということです。 偶然が重なった、ということですかね。 もし、この現象がほかの場合にも出た場合には、特別な理由とかあるかもしれませんが。 ちなみに、最後の項から(小さい数の方から)計算を実行してみましたか？ 足して引く計算をやった後に和の計算とかやってみましたか？ 場合によっては、計算結果が変わってしまいますよ。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
ちょろっと考えると π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … = 2/(1*3) + 2/(5*7) + … + 2/((2n-1)*(2n+1)) + … んで、2/((2n-1)*(2n+1)) は n^(-2) のオーダで減少するから端数はどんどん小さくなるはずですが。 本当に 50万項までを「正確に」計算できていますか？
お礼
ガセではありません。本当です。 大学院レベルのご回答をお待ちしていります。
関連するQ&A
- πの近似（1-1/3+1/5-1/7+…）について
有名なπ（正確にはπ/4）の近似式 1-1/3+1/5-1/7+… がありますが、これについての質問です。 この無限級数表示は大変美しい式に思いますが、収束の遅さで有名でもあります。第n項を(-1)^{n-1}/(2n-1)と書くならば、直感的に言って、第n項以降の和の絶対値はだいたい第n項の絶対値ぐらいであって、したがって第n項までの和を取ったとき、第n項の絶対値ぐらいの誤差が依然として残るからです。第n項の絶対値は大抵の無限級数より圧倒的に大きく、収束が遅いというわけです。 普通、小数展開をしてみたとき、小数第m桁で真の値とずれが生じたら、有効数字はせいぜいm桁程度であろうと想像します。したがって直感的には小数第m+1桁目以降の数字にはほとんど何の意味もないものと思いがちです。ところが、上の無限級数はやや変った収束の仕方をする、とどこかの本で読んだことがありました。確か志賀さんの数学が育っていく物語、か何かだったと記憶しています。ふとそれを思い出して、計算機で数値計算をさせてみました。 たとえば、4(1-1/3+1/5+…)を1京(=10^16)項まで足すと、 3.1415926535897931384626433832795028841971693993753558209749445923078164062862089955030348253421170679821… このようになります。真の値πは 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821… です。既に小数第16位で真の値とずれてしまっていますが、以降の桁についても明らかに無意味な数字の列だとはとても思えないわけです。上では省略した桁以降についても延々と意味ありげな数字が続き、ところどこの桁で真の値とずれた状況が続きます。いったいどうしてこういう不思議な収束の仕方をするのでしょうか？ ちなみにだいたい小数点以下第200位ぐらいまではかなりの桁で真の値と一致しています。それ以降はまったくでたらめな感じでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限の評価の仕方について
数列の極限について、一つ疑問というか、考え方を知りたいと思い、投稿してみます。 興味がありましたら、是非コメントのほど宜しくお願い致します。 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 【数列の極限】 lim(n→∞)an=α の時、 bn=(a1+a2+・・・+an)/n の極限もαになる、という問題についてです。 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 解き方は分かるので、分かっているところまで書きます。 ↓Start 「任意の ε/2 を与えても n1>0 を取ることにより、 n>N1 なら |an-α|<ε/2 と表せる」ことが初期条件で与えられているので、 n>N1 なら |bn-α| = |(a1+a2+・・・+an)/n - α| <=(|a1-α|+|a2-α|+・・・|aN1-α|)/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n ・・・☆ と、三角不等式を使って、 n=N1の部分 で２つの式に分解する。 ☆の右辺第２項については、仮定より、 （右辺第２項） < (n-N1)/n * ε/2 < ε/2 (なぜなら、(n-N1)/n < 1） である。 ☆の右辺第１項については、N1が定数で、 さらに分子は絶対値の足し算（＝定数）なので （分子）＝A（>0）の正の定数と置くと、 （右辺第１項） = A/n となります。 ※ここは、収束する数列は有界である、という条件を使って 分子をKで表してもいいですが、今回はこのようにやりました。 ここで、充分大きな M を取れば、 n>M なら、A/n < ε/2 となるので、 ※ここは、アルキメデスの原理を使って、存在の保証をしてあげてもいいですが、 今回の質問の主旨とは違うので、簡易的に書きました。 N=max{N1,M} とすれば、 ☆は、 n>N なら A/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n <ε/2 + ε/2 = ε となり、証明完了となります。 ----------------------------------------------------- ここで, N=max{N1,M} について、もう少し掘り下げて考えてみたいのです。 まず、場合分けして考えてみます。 i ) N1 < M の時は、 A/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n を評価する際に、 A/n < ε/2 となるのは n>M の時なので、n > N1 で評価しようと思っても、 N1 < n <= M の時は評価不能。 従って、全体を n > M で評価してあげないと、右辺の２つの項は評価できないので、 証明ができません。 （なお、右辺第２項は、たかだか n>N1 で成り立つので、 n>M>N1 なら余裕で成り立つ。） 従って、 N=max{N1,M} と置くのは正解。 ii ) N1 > M の時は、 |bn-α| の評価を始めた時点でn>N1 としてスタートしているので、 A/n は問答無用で A/n < ε/2 となる。 （なぜなら、N1 > M より、A/N1 < A/M 。 n > M なら A/n < ε/2 なので、 ε/2 > A/M +1 > A/M +2 ・・・ > A/N1 > A/N1+1） 従って、N=N1 つまり、N=max{N1,M}と置いて評価すれば正解。 ----------------------------------------------------- さて、やっと質問です。 iii ) N1 > M の時、 N=M（つまり、N=min{N1,M}） で評価したらダメかどうか、知りたいのです。 実験してみます。 例えば、具体的な数で考えてみると、 N1=1000 M=100 などと置いてみますね。 すると、n > M(=100) の時、 |bn| <= A/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n と書ける場合と書けない場合が出てきます。 具体的に、n > 1001 > N1 なら上記の式は書けますが、 M < n <= N1 の時は、右辺第2項は登場しません。 ところが、 A というのはもともと A = (|a1-α|+|a2-α|+・・・|aN1-α|) ですよね。 よく見ると、100 < n <＝1000 の時は A= (|a1-α|+|a2-α|+・・・|aN1-α|) > (|a1-α|+|a2-α|+・・・|a500-α|)=A' などのように、 M < n < =N1 の時、上記不等式が成立します。 すると、 M < n <=N1 の時、 |bn|<=A'/n というシンプルな式になり、 n > M なら、A'/n < A/n < ε/2 で、証明完了となります。 以上から、n > M で評価する際は、 (1)n > N1 の時と (2) M < n <=N1 の時で場合分けし、 いずれも証明可能であることを示せば良いので、 N=min{N1,M} でも良い。 という結論（？）が導かれます。。。 ---------------------------------------------------- この議論、どこかおかしいところあります？ というのは、この議論を「真」にしてしまうと、 N1 > M の時は、N=max{N1,M}と置かなくても良い、ということになります。 個人的には、絶対どこかがおかしいと思うのですが、 もやもやしてて良くわかりません。 例えば、M という数字そのものが、 n > N1 を前提に議論を進めた結果 登場したものであり、最初から与えられていたわけではありません。 従って、循環論法になっている気がするのですが、どこがどう循環しているか ピントきません。 また、昔から習ってきたこととして、 最初に与えられた N1 よりも充分大きな M を取ればいい、という 先生の教えは間違っていたことになってしまいます。 なぜなら、上記の議論を真とするなら、 「別に M は N1 よりも小さくていい」ってことになりますから。 怪しいのはやはり、 A の扱い方の気がします。。。 理屈っぽい書き方になってしまい、読むのに疲れるかと思いますので、 興味がある方のみで結構ですので、是非コメントのほど宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題がわかりません
途中過程も教えてくれるとありがたいです。 無限級数1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+…+n/2^n+…について次の問いに答えよ。 (1)初項から第n項までの部分和Snをnの式で表せ (2)この無限級数の和を求めよ。ただし、lim(n→∞)n/2^n=0である 回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- (1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2
ｈ＞0のとき(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2 これを示すのに「右辺は二項定理で展開して昇べき順で並べたときの最初の3項」ってことでは証明になりませんか？ 数学的帰納法でしょうか？ あと、0＜ｘ＜1のときlim[n→∞]nx^n＝0 を先の不等式を用いて示せという問題がわかりません。 一見明らかにみえますけど。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限
（１）lim[n→∞]a~1/n＝lim[n→∞]n√aを求めよ。 ただし、a＞1。a~1/nはaの1/n乗 n√aは、n乗根と思ってください。 （２）数列An｛(1+2+・・・+n)/(n~2)｝の極限を 求めよ。 （３）級数 1/(1・2)＋1/（2・3)＋・・・ ＋1/{n(n+1)}＝Σ[n=1→∞]1/｛n(n+1)｝の和を求めよ 以上の３問です。 大学生なんですが、教科書読んでもよく 分からなかったので、これを解く上で必要な知識や、 ヒントなど教えてもらえませんか？ あと、高校までの知識でこれ解けますか？ （１）は、高校ではnじゃなくxがほとんどだった 気がするんで、なんか混乱してます。 （３）は高校の問題集に似た問題があったので、 それで良いのかなと思ったんですが・・・。 その問題集の考え方には、初項から第n項までの 部分和Ｓnを考えて、Ｓ＝lim[n→∞]Snにより求める と書いてあります。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マクローリン展開について
マクローリン展開について 以前あるサイトで質問したのですが、その回答がよくわからなかったのでこちらで質問します。 1/1-x についての級数展開の質問になります。 1/1-xをマクローリン展開すると、1+x+x^2+x^3+x^n+・・・・とないっていきますが、この時の収束がわかりません。 以前質問したときにこんな回答がありました。 f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n! Sm(x)=Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n!=Σ[n=0,m-1]x^n (級数Σ[n=0,∞]x^nのm部分和) f(x)にマクローリンの定理を適用したときの剰余項をRm(x)とすると f(x)=Sm(x)+Rm(x) と表わせる。 |Rm(x)|=|Sm(x)-f(x)| =|Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n! -1/(1-x)| =|Σ[n=0,m-1] x^n - 1/(1-x)| =|(1-x^m) / (1-x) - 1/(1-x)| =|x^m/(1-x)|…☆ しかし、f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!というのが分かりません。 どこからこのような式はでてくるのでしょうか？ また、剰余項というのは、級数は無限には実際計算できないわけで、例えばn=５とかで計算を終わらせる必要がありますが、 その時n=6以降の項は切り捨てることになります。 その切り捨てた項が剰余項となるのでしょうか？ 余った項とかくので。 収束条件と剰余項がどういう関係があるのかはいまいちわかりませんが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 http://mathworld.wolfram.com/GregorySeries.html も参考に勉強してみます。