(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2

質問

ｈ＞0のとき(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2

これを示すのに「右辺は二項定理で展開して昇べき順で並べたときの最初の3項」ってことでは証明になりませんか？
数学的帰納法でしょうか？

あと、0＜ｘ＜1のときlim[n→∞]nx^n＝0
を先の不等式を用いて示せという問題がわかりません。
一見明らかにみえますけど。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

この問題の重点は後半にありそれのヒントが前半です。
後半は
∞*0
の形の極限ですから明らかではすみません。
ｎ乗の収束の方が速いとわかっていれば明らかですけど。

二項定理ぐらい使ってもいいと思います。
それさえも証明しなければいけないとしたら
どんなことでも最初から証明を始めなければいけないことになります。

二項定理の証明は数学的帰納法とは限りません。

お礼

ありがとうございました。
三平方も定理だし、加法定理だって定理・・・。
確かに定理をすべて証明するとなると大変ですね。
そう考えると定理っていっぱいある。

回答No.1

uyama33

「右辺は二項定理で展開して昇べき順で並べたときの最初の3項」
　これだと、二項定理が成立する事の証明が必要になります。そのとき帰納法で証明します。

　後半は、
1/x　＝　（１＋ｈ）
として
　nx^n　＝　n*(1+h)^(-n)
= n/((1+h)^n)
<= n/(1+nh+{n(n-1)/2}h^2)

ここで、分母分子をｎで割ってから
ｎを無限大に持ってゆく。

お礼

どうもありがとうございます。
やはり、二項定理は定理だから証明しなくてはいけないのですね。
これだと簡単すぎるし、そうかなと思ったのですが。