証明が合っているかどうか？

質問

証明の仕方について質問があります。

h>0のとき、すべての自然数nに対して、不等式
(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2
が成り立つことを証明せよ

左辺を展開していくと
1+nh+n(n-1)h^2/2+n( n-1)(n-2)h^3/6+.....+h^n
h>0より第4項から末項をΑとおくと
Α≧0
両辺に1+nh+n(n-1)h^2/2を加えると
1+nh+n(n-1)h^2/2+A≧1+nh+n(n-1)h^2/2
左辺は(1+h)^2の展開なので
元に戻すと
(1+h)^2≧1+nh+n(n-1)h^2/2
となるので成り立つ

回答No.4

noname#175206 · ベストアンサー

それで正しいと思えます。少なくとも、読んでみて間違いは見つけられません。
　もし、手を加えるとしたら下記1行でしょうか。

>1+nh+n(n-1)h^2/2+n( n-1)(n-2)h^3/6+.....+h^n

　ここでお使いの2項定理、

(a + b)^n =nC0a^n + nC1a^(n－1)b + nC2a^(n－2)b^2 +…+nCra^(n－r)b^r +…+nCnb^n
= ∑[r=0→n]nCra^(n－r)b^r
（↑∑[r=0→n]は∑の上にn、下にr=0です）

を明示し、a = 1, b = hと置くとすれば（もしくは上記を、「2項定理より」として、そのように書く）、ベターではないかと思います。

回答No.6

ferien

>h>0より第4項から末項をΑとおくと
二項定理を知らない人には理解できないので、
二項定理の式から説明（証明）しなければならないと思います。

すべての自然数nに対して、なので、
数学的帰納法で証明するのがいいと思います。

Ｂ＝1+nh+n(n-1)h^2/2　とおくと（書き込みが長くなるのでこのようにおきます）、
ｎ＝ｋ＋１のとき
（１＋ｈ）^(k+1)≧（Ｂのn=k+1の式）＋ｋ（ｋ－１）ｈ^3／２
となりますが、
ｋ（ｋ－１）ｈ^3／２≧０（ｋ≧１）なので
（Ｂのn=k+1の式）＋ｋ（ｋ－１）ｈ^3／２≧（Ｂのn=k+1の式）より、
（１＋ｈ）^(k+1)≧（Ｂのn=k+1の式）
が成り立ち、証明できます。

計算の手間が少しかかりますが。。。

回答No.5

Tacosan

微妙. 例えば, なぜ「h>0より第4項から末項をΑとおくとΑ≧0」なのかって聞かれると答えるのも難しいんだよね.

そもそも「第4項から末項」が必ずしも存在するわけではない....

回答No.3

WiredLogic

間違ってはいませんが、少し回りくどいかも。

h>0 のとき、(1+h)^n-{1+nh+n(n-1)h^2/2} = … = 質問者さんがAとおいた式 ≧0
よって、(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2

くらいで、大丈夫です。

A≧B(A＞B) を証明するのに、A-B≧0 (A-B＞0) から持っていくのは、
定石の一つです。(２つの式の大きさを比べるより、1つの式が正,0,負の
どれになるかを調べるのは、普通は簡単だから)

回答No.2

alice_44

微妙。
この問題で、二項展開を既知としてよいか
については、意見が分かれる…というか、
大多数の人は、それはマズイだろうと感ずるけれど、
一部にきっといる「それでいい」派の人を
納得させるのは、かなり難儀…といった所です。

二項展開を使うのであれば、その証明も添える
のが、題意に沿う解答でないかと思います。

回答No.1

naniwacchi

＞左辺を展開していくと
＞1+nh+n(n-1)h^2/2+n( n-1)(n-2)h^3/6+.....+h^n
二項定理（二項展開）の式を無条件で用いてよいのであれば、
これでもよいかと。
通常は、この二項定理の式も証明しないといけません。。

ということで、素直に証明するなら数学的帰納法かと。

あと、等号を含む不等式の証明の場合は、
等号がいつ成立するかも合わせて示すことも多いです。