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πの近似（1-1/3+1/5-1/7+…）について
- 有名なπ（正確にはπ/4）の近似式1-1/3+1/5-1/7+…がありますが、この無限級数表示は収束が遅く、第n項までの和を取った時には誤差が残ることが知られています。
- 通常、小数展開では小数第m桁で真の値とずれが生じたら、小数第m+1桁目以降の数字には意味がないとされていますが、この無限級数では意味ありげな数字が延々と続きます。
- ただし、小数第200位ぐらいまでは真の値と一致していますが、それ以降はでたらめな数字になります。なぜこのような収束の仕方をするのか、不思議に思います。
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少なくとも、10^16項まで足した時に、そうなるのは、１０進法を使っているからですよね。 ３進法等では、多分、そうはならないと思います。 10^16項まで足した時の誤差が、 -1/10^16+0.25/(10^16)^3+0.3125/(10^16)^5+… のようになっている事からの類推ですが、n項まで足した時の誤差は a_1/n+a_3/n^3+a_5/n^5+… (a_kの絶対値は１以下？整数÷nのような形で表せる？) のようになるのかもしれません。 だとすれば、10^16項まで足しているのが、「意味ありげな数字」が並ぶ事の理由になるのかもしれません。 同様に、10^15や10^17等まで足した時にも、「意味ありげな数字」が並んでもおかしくないですし、123456789012345項まででは並ばない事でしょう。 また、p^m項まで足したものを、p進法で表記した場合にも、「意味ありげな数字」が並ぶのかもしれませんね。 いずれにせよ、10^16項まで足した場合だけではなく、 (もし可能なら)他の場合についても検証してみれば、本当に「不思議な収束の仕方」をしているのか「10^16までの場合だけたまたま」なのかが分かるのかもしれませんね。(私には、検証できませんが) 数学的な根拠は一切ないので、参考になるかどうか怪しいですが^^;
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- age_momo
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とりあえず数学として原因を考えれば π=4Σ[1,∞](-1)^{n-1}/(2n-1) π‐4Σ[1,10^16](-1)^{n-1}/(2n-1)=10^-16*1.00000・・・・ ということですので問題は 4Σ[10^16+1,∞](-1)^{n-1}/(2n-1)が 10^-16*1.00000・・・・になるかどうかになりますね。 というか計算結果からなるのでしょうね。 相変わらず、収束は遅そうですがw こういう計算が1.000・・・×10^mになりやすいから この無限級数は不思議な収束をする事になるのでしょう。
お礼
ありがとうございます。とても不思議です。
お礼
大変貴重なアドバイス、ありがとうございます。おっしゃるように、他のnでも誤差のnによる展開(ローラン展開？)がそのような形になることが分かりました。nにはよらないようです。0.25=1/2^2、0.3125=5/2^4、などなどと理解するとa_j=b_j/4^jの形になることがわかりました。a_jなる数列は1,1,5,61,5×277,19×2659,などとなるようです。意味のある数列なのかも知れません。わりと発散の仕方は激しくないようで、したがってn=10^rの形に取ったとき、10進展開で真のπと多くの桁での一致を見るのでしょう。同様にn=p^rの形ならば、p進展開に「意味ありげな数字」が並ぶものと思われます。問題はnによる展開がなぜこのような形で表されるのか、そしてその係数b_jのorder評価はどれぐらいなのか、等々。ただこれはとても難しい問題なのかも知れません。いくつかπの本を当たってみることにします。
補足
Pi/4 = [Sum_{k=0..n-1} (-1)^k/(2*k+1)] + 1/2*[Sum_{k>=0}(-1)^k*E(k)/(2*n)^(2k+1)] なる公式があるそうです。E(k)は1,1,5,61,1385,50521,2702765,199360981,19391512145,…と続く数列で、実は他のところでも出てくる有名な数列のようです。オイラー数、またはsecant数、またはzig数と呼ばれ、sec x:=1/cos x のマクローリン展開の係数に表れるものと同一になるそうです。