（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）

質問

（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）なんでしょうか？

回答No.7

ny_bigappl · ベストアンサー

(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
の部分について、

ｔ＝1/(a+b+c）＾ｋと便宜上おく（何回も書くのが面倒くさい）

(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
＝a(t-a^k)+b(t-b^k)+c(t-c^k)
＝(a+b+c)t - {a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)}
＝１/（a+b+c）^(k-1)　-　{a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)}
＝０

よって
１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝{１/（a+b+c）}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
={（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ)}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
=1/a^（k＋１）+1/b^（k＋１）+1/c^（k＋１）＋(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c

１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝１/a^(k+1)+１/b^(k+1)+１/c^(k+1)
が成立。

AとBより命題が成立
あとAはn=1だけじゃだめだ、

n=1とn=2のときも証明する必要ある。

じゃないの？？間違いがなければ・・・

お礼

ごめんなさいｎは奇数でした。

補足

すみませんどうも頭が悪いもので
＞(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
の部分について、

ｔ＝1/(a+b+c）＾ｋと便宜上おく（何回も書くのが面倒くさい）

(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
＝a(t-a^k)+b(t-b^k)+c(t-c^k)
＝(a+b+c)t - {a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)}
＝１/（a+b+c）^(k-1)　-　{a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)}
＝０

よって
１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝{１/（a+b+c）}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
={（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ)}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
=1/a^（k＋１）+1/b^（k＋１）+1/c^（k＋１）＋(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c

１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝１/a^(k+1)+１/b^(k+1)+１/c^(k+1)
が成立。
＞
とこの辺がわからないです。(って殆どだけど)

回答No.15

aquarius_hiro

ANo.15です。

別の証明も考えてみました。

[証明]
a+b+c=A, -c=B とおくと、abAB≠0で、
a+b=A+B …(1) かつ 1/a ＋ 1/b = 1/A + 1/B …(2)
のとき、奇数nに対して、1/a^n ＋ 1/b^n = 1/A^n + 1/B^n …(3)
を示せばよいところまでは、ANo.15と一緒で、その後次のようにします。

(1),(2)より、ab=AB …(4)
(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = (A+B)^2 - 4AB = (A-B)^2 … (5)
(4),(5)より、(1/a - 1/b)^2 = (1/A - 1/B)^2 … (6)

すべての奇数 n について (3) が成立するということは、
任意の実数 x に対して、

sin(x/a) + sin(x/b) = sin(x/A) + sin(X/B) … (7)

が成立つことを示せばよい。

sin α + sin β = sin[(α+β)/2 + (α-β)/2] + sin[(α+β)/2 - (α-β)/2]
= 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]

より、(7)の左辺は

sin(x/a) + sin(x/b) = 2 sin[ (x/a+x/b)/2 ] cos[ (x/a-x/b)/2 ] … (8)

ところで、(2)より、sin[(x/a+x/b)/2] = sin[(x/A+x/B)/2] …(9)

また、cos[ (x/a-x/b)/2 ] は、(1/a-1/b)x/2 の偶数べきしかないので、(6)より

cos[ (x/a-x/b)/2 ] = cos[ (x/A-x/B)/2 ] …(10)

(9),(10)より、

((8)の右辺) = 2 sin[ (x/A+x/A)/2 ] cos[ (x/A-x/B)/2 ] = sin(x/A) + sin(x/B)

故に(7)が成立。故に、すべての奇数 n について(3)は成立。

（証明終わり）

sin, cos のかわりに、sinh, cosh を使っても良いですね。

1/(a+b+c) = 1/a + 1/b +1/c のときに、
sin[x/(a+b+c)] = sin[x/a] + sin[x/b] + sin[x/c]
が恒等的に成立するというのは、面白いですね。

ほんとかなって思いますが、ほんとなんですよね。

回答No.14

aquarius_hiro

こんにちは。

証明してみました。

>　a、b、cは
>　 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝1/(a＋b＋c)
>　 a＋b＋c≠０，abc≠０
>　を満たす実数であるとする。
>　このとき、任意の奇数nに対して
>　 (1/a^n)＋(1/b^n)＋(1/c^n)＝１/(a＋b＋c)^n
>　が成り立つことを示せ。

a+b+c=A, -c=B とおくと、abAB≠0で、
a+b=A+B …(1)
かつ
1/a ＋ 1/b = 1/A + 1/B …(2)
のとき、
奇数nに対して、
1/a^n ＋ 1/b^n = 1/A^n + 1/B^n …(3)
を示せばよいですね。

(1),(2)より、ab=AB …(4)

n=1のときは(2)より(3)成立なので、
奇数 n=2m+1 （m≧1）について示します。

2項定理より、C(n,k)=n!/[k!(n-k)!] とおいて、
(a+b)^n - (a^n+b^n) = Σ_{k=1}^{2m} C(2m+1,k) a^k b^{2m+1-k}
　= Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) a^k b^{2m+1-k}
　　+ Σ_{k=m+1}^{2m} C(2m+1,k) a^k b^{2m+1-k} …(5)

(5)の第2項で、2m+1-k=k' とおくと、k=2m+1-k'より
C(2m+1,k)=(2m+1)!/[k!(2m+1-k)!] = (2m+1)!/[(2m+1-k')!k'!] = C(2m+1,k')
k=m+1 で k'=m、k=2m で k'= 1
故に、((5)の第2項) = Σ_{k'=1}^{m} C(2m+1,k') a^{2m+1-k'} b^{k'} …(6)
k'をkとおいて、

(5) = Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) [ a^k b^{2m+1-k} + a^{2m+1-k} b^{k}]
　　= Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) a^k b^k [ b^{2m+1-2k} + a^{2m+1-2k}] …(7)

いま、1≦n'≦n-2 を満たすすべてのn'について
1/a^{n'} + 1/b^{n'} = 1/A^{n'} + 1/B^{n'} が成立とすると、
(4)より、a^{n'} + b^{n'} = A^{n'} + B^{n'} も成立するので、
1 ≦ 2m+1-2k ≦ 2m-1 ≦ n-2 に注意し、(4)も用いて、

(7) = Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) A^k B^k [ B^{2m+1-2k} + A^{2m+1-2k}] …(8)

(A+B)^n - (A^n+B^n) について、(5)～(7)と同じ計算をすると、(7)と同じ形、すなわち(8)になるので、

(a+b)^n - (a^n+b^n) = (A+B)^n - (A^n+B^n)

が得られる。ここで、(1)より (a+b)^n = (A+B)^n なので、

a^n+b^n = A^n+B^n

(4)より、(ab)^n=(AB)^n より、両辺を割って、

1/a^n + 1/b^n = 1/A^n + 1/B^n

を得る。

お礼

ん～なかなか難しい証明ですね。
回答ありがとうございました。

回答No.13

kkkk2222

＞＞因数分解。

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)
(bc+ca+ab)/abc=1/(a+b+c)
(a+b+c)(bc+ca+ab)=abc
{a+(b+c)}{(b+c)a+bc}-abc=0
(b+c)(a^2)+{(b+c)^2}a+bca+bc(b+c)-abc=0
(b+c)(a^2)+{(b+c)^2}a+bc(b+c)=0
(b+c){(a^2)+(b+c)a+bc}=0
(b+c)(a+b)(a+c)=0

即、(b+c)=0 または (a+b)=0 または (a+c)=0

>>
{1/(a^n)}+{1/(b^n)}+{1/(c^n)}=1/{(a+b+c)^n}

＃　nが奇数ならば、

(b+c)=0,,, b=-c　のとき、
左辺＝1/(a^n)＝右辺　で成立。
同様に、(a+b)=0　のとき、(a+c)=0　のときも成立します。

＃　nが偶数のときは、

たとえば、b=-c　のとき、
{1/(a^n)}+{1/(b^n)}+{1/(c^n)}=1/(a^n)　となって、
{1/(b^n)}+{1/(c^n)}＝０　とはならないので、
不成立のようです。

お礼

おおー分かりやすいですありがとうございました。

補足

できれば回答の方もよろしくお願いします。

回答No.12

Quattro99

> よろしいですが自分で解けました。
> ただやたら長くなちゃってもう少し簡潔なのをお願いしたいです。
長くてもよいのでそれを書いてみてください。どこか必要のないことをやってしまっているかも知れませんし、どうしてもそれくらいの長さが必要なのかも知れません。
かなり、長くなると思いますよ。

お礼

NO7さんは頭のいいやり方をしています。が自分の場合は普通にやりました

補足

ぼくの場合は数学的帰納法です

回答No.11

velvet-rope

#9の回答からケンカっぽくなってしまいましたねぇ。
質問者様もわからないなりに理解したいという思いがあるわけですから、そこはわかってあげないと・・・

でもねぇ、質問者様もちょっと考察不足かな。
因数分解の仕方がわからないとありましたが、もうちょっと頑張って、いろいろ式変形するとか、2～3時間くらい1つの式と睨めっこするのって大事ですよ。

さて、問題がよくわからなくなったので、整理させてください。

　a、b、cは
　 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝1/(a＋b＋c)
　 a＋b＋c≠０，abc≠０
　を満たす実数であるとする。
　このとき、任意の奇数nに対して
　 (1/a^n)＋(1/b^n)＋(1/c^n)＝１/(a＋b＋c)^n
　が成り立つことを示せ。

でよろしいでしょうか。

補足

＞でもねぇ、質問者様もちょっと考察不足かな。
因数分解の仕方がわからないとありましたが、もうちょっと頑張って、いろいろ式変形するとか、2～3時間くらい1つの式と睨めっこするのって大事ですよ。

そうですね因数分解もう一度やってみます。

＞　a、b、cは
　 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝1/(a＋b＋c)
　 a＋b＋c≠０，abc≠０
　を満たす実数であるとする。
　このとき、任意の奇数nに対して
　 (1/a^n)＋(1/b^n)＋(1/c^n)＝１/(a＋b＋c)^n
　が成り立つことを示せ。

でよろしいでしょうか。
＞
よろしいですが自分で解けました。ただやたら長くなちゃってもう少し簡潔なのをお願いしたいです。

回答No.10

take_5

＞でその因数分解のしかたは？

分母を払ったものをaについてそろえれば、aの２次式になるだろう。
そんな因数分解も出来ないのか。

補足

ぜんぜんわからないのですが？

回答No.9

take_5

abc(a＋b＋c)≠0の条件で分母をはらい因数分解すると、(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝0.となる。
例えば、a＋b＝0とすると、右辺＝１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ＝１/（ｃ）＾ｎ。左辺＝（１/a＾ｎ）＋1/（-a)＾ｎ＋（１/ｃ＾ｎ）
左辺＝右辺であるためにはnが奇数でなければならない。偶数では成立しない。

こんな簡単な事がわかんないの？　君は高校何年生？

お礼

＞、a＋b＝0とすると、右辺＝１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ＝１/（ｃ）＾ｎ。左辺＝（１/a＾ｎ）＋1/（-a)＾ｎ＋（１/ｃ＾ｎ）

とこの辺もよくわからないのですが、

補足

でその因数分解のしかたは？

回答No.8

Quattro99

> （１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）であり
> ａ＋ｂ＋ｃ≠０，a・b・c≠０を満たす実数である
> このときなぜ
> （１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ
> が満たされるんでしょうか？

満たされませんよ。
#5の反例の通り。
#4さんが示したとおり、nが偶数のとき成り立ちません。

補足

ごめんなさいｎは奇数でした。

回答No.6

ny_bigappl

（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）ならば

（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝（１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ）

数学的（強化）帰納法つかったら証明できた。成立するね（驚いた）

A)n=1のときは成立

B)ｎ＜＝ｋのときは命題が成立すると仮定つまりいま

（１/a＾ｋ）＋（１/ｂ＾ｋ）＋（１/ｃ＾ｋ）＝（１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｋ）

ｎ＝ｋ＋１のとき

１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝{１/（a+b+c）}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
={（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ)}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
=1/a^（k＋１）+1/b^（k＋１）+1/c^（k＋１）＋(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c

続く

補足

？？？
ちょっと待ってくださいよ
＞＋(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
ここはなんでこうなるんですか？

回答No.5

Quattro99

a=1、b=c=-1、n=2のとき成り立ちません。

補足

すみません訂正します
（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）
であり
ａ＋ｂ＋ｃ≠０，a・b・c≠０を満たす実数である
このときなぜ
（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ
が満たされるんでしょうか？
という質問です