- ベストアンサー
逆関数について
roro02の回答
- roro02
- ベストアンサー率26% (15/57)
sinhｘ={exp(ｘ)-exp(-ｘ)}/2ですよね。 この関数は（－∞，∞）で連続で全単射。 ゆえにこの区間でsinhｘは逆関数を持つ。 これでいかがでしょうか？
関連するQ&A
- この逆関数の求め方は間違っていますか？
「y=sinhx={e^x-e^(-x)}/2の逆関数を求めよ」 という問題が分かりません． 与式を変形して2y=e^x-e^(-x) e^2x-2ye^x-1=0 e^x>0を考慮して，解の公式よりe^x=y+√(1+y^2) 両辺の対数をとって（表現が間違っているかもしれません） x=log{y+√(1+y^2)} yを変数xについての関数とするために入れ替えて y=log|x+√(1+x^2)| （与式の値域より右辺の真数>0となるよう，絶対値記号を用いています．） とすれば解答と一致します． ですが，次の方法で解こうとすると答えが変わってしまいます． y=f(x)=sinhx={e^x-e^(-x)}/2 f'(x)={e^x+e^(-x)}/2>0より，f(x)は増加関数 逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます． 逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1) この導関数を積分してf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)+C 関数y=f(x)は(0,0)を通るから，逆関数も(0,0)を通る．このことからC=-π/2を得る． よってf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)-π/2 ですが，これは先ほどの解答とは異なる気がします． 後半の解法はどこが間違えているのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数Ⅱ 逆関数の導関数について
次の問題の違いを教えてください。 (1)次の関数の逆関数の導dx/dyを求めよ。 y=x^5 (x>0) (2)次の関数の逆関数を作り、その導関数を求めよ。 y=x^4 (x>0) (1)は、dx/dy=1/(dy/dx)を使って答えが合うのですが、(2)は合いません。 なぜなのかを教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆関数の意義
関数y=sinx(-π/2≦x≦π/2)の逆関数をg(x)とする。 I=∫[0→1]g(x)dx を求めよ。 という問題なんですが、もちろんこの場合逆関数は簡単には求まりませんよね？といいますか、傍用問題集に載ってるような計算で求められる逆関数はむしろ特別な場合をやっているに過ぎないと教わりました。 さて本問についてですが、さっぱり分からなかったので解説を受けたのですが、その説明はこういうものでした。 「与えられた関数にx1という値を入れるとy座標はy1(=sinx1)になるとする。このとき逆にy1を入れてx1に至る関数を本問での逆関数と呼ぶ。これをx=g(y)とする。このときグラフ自体はまったく同じものであるが、関数はxを入れてyに至るというのが一応の決まりとなっているのでxとyを入れ替えてy=g(x)とする。したがってもともとyを入れてxに至るのが逆関数であったのでIは次のように書き換えられる」 I=∫[0→1]g(y)dy という説明でした。はっきり申しますとさっぱりこの説明の意味が分かりません。こんな曖昧な状態では全く応用が利かないです。もちろん上のように書き換えられたならば積分は計算できるのですが、そこまでのプロセスの理解はやはり皆無です。そもそも教科書にしてもチャートなどの問題集にしても、逆関数を求めるだけという単純な計算問題しか書かれていないのでその本質がまったく見えません。逆関数が試験にでるというのはまだ一度も見たことは無いのですが、一応受験範囲が(3)Ｃだけですのでここもしっかり理解しておきたいです。上の解説文などは完全に無視していただいて構いませんのでアドバイスよろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ありがとうございます。 ほんと無知ですみませんが、全単射とはどういう意味なのでしょうか？よろしくお願いします。