逆関数の導関数

質問

y＝ｘ^3/5　を逆関数の導関数の公式を使って微分しろという問題なのですが、普通に解くことは出来るのですが公式を使った解き方が分からないので教えてください。

回答No.1

eliteyoshi · ベストアンサー

y＝ｘ^3/5　⇒　5y=x^3　⇒　x=(5y)^(1/3)
⇒　x=5^(1/3)・y^(1/3)　・・・(1)
とまず変形します。逆関数の導関数の公式は、

dy/dx=1/(dx/dy)　・・・(2)

だから、(1)より
dx/dy=5^(1/3)・(1/3)y^(-2/3)　・・・(3)
であり、次に(2),(3)より、

dy/dx=1/(dx/dy)=1/{5^(1/3)・(1/3)y^(-2/3)}
となるから、y＝ｘ^3/5を代入して、

dy/dx=3x^2/{5^(1/3)・5^(2/3)}=(3/5)x^2

です。