２点間の距離の公式について

質問

y=mx+n上の異なる２点A,Bのx座標をそれぞれα,β(α<β)とする。
２点ABの長さは√(1+m^2) ・(β-α)と本に書かれてあったのですが、２点間の距離の公式と比べてこれはどういう利点があるのでしょうか？２点間の距離の公式を覚えただけではだめなのでしょうか？２点間の距離の公式とどう違うのでしょうか？
初めて見たのですが常識なことなのですか？

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

それは、直角をはさむ２辺が２１と２８の直角三角形の斜辺を、
「７の３倍と４倍だから、３：４：５で斜辺は７×５＝３５」と考えるか
「√(21^2+28^2)」を計算しようとするか、
ということと同義だと思われます。

ちなみに、傾きmだからx座標の差を[1]として、[1]:[m]:[√(1+m^2)]となることに着目してるわけですね。

どちらも、２点間の距離の公式だと言って覚えるものではなく、座標平面上の直角三角形がイメージできれば、公式を意識することなくいつのまにか公式と同じ計算を勝手にしているべきものと思われます。

たとえば、２次方程式の解の公式だとか、点と直線の距離の公式とか、いちいち導出してるのが大変なものは覚える価値あるかもしれませんが、２点間の距離公式は覚えるもんじゃない、理解するものです。

お礼

>２点間の距離公式は覚えるもんじゃない、理解するものです。

お返事どうもありがとうございます。確かに覚える内容ではない気がします。仰るように座標平面上の直角三角形がイメージできれば大丈夫ですね。参考になりました。ありがとうございました。

回答No.5

siegmund

再び siegmund です．

> (1)の簡単な応用にすぎないということはわかるのですが、
> これは覚えるべき事項なのでしょうか？私は疑問なのですが。

派生的公式まで覚えているときりがありません．
もともとの２点間の距離の公式から瞬時に
({√(1+m^2)}・(β-α) という式を書き下ろすより早く)
導けるべきものだと思います．
少なくとも，私の頭の中では{√(1+m^2)}・(β-α) が公式という
意識はありません．

hoihoihoi18 さん：
> 確かに覚える内容ではない気がします。
> 仰るように座標平面上の直角三角形がイメージできれば大丈夫ですね。
kony0 さん：
> 公式を意識することなく
> いつのまにか公式と同じ計算を勝手にしているべきものと思われます。
私もそう思います．
ymmasayan さんもほぼ同趣旨のご意見のようです．

hoihoihoi18 さんは高校生ですか？
数学の先生がすらすら計算するのを見たことがあると思いますが，
あれは公式をたくさん覚えているからできるのではなく，
式を書きながら頭の中で瞬時に計算しているのです．

お礼

お返事どうもありがとうございました。

>少なくとも，私の頭の中では{√(1+m^2)}・(β-α) が公式という
意識はありません．

そうですか、是非私もそういう感覚を身につけたいです。

>hoihoihoi18 さんは高校生ですか？
数学の先生がすらすら計算するのを見たことがあると思いますが，
あれは公式をたくさん覚えているからできるのではなく，
式を書きながら頭の中で瞬時に計算しているのです．

はい、すらすら計算するのをいつも驚いているのですが、やはり頭の中で瞬時に計算していたのですね。感動しました。ありがとうございました。

回答No.4

seven_triton

常識的なことかどうかは学年によると思いますが，この公式は思っているより有用なものです。例えば次のような問題を考えてみてください。

直線y=3x-2 が放物線y=x^2 -4x+7 によって切り取られる線分の長さを求めよ。

もちろんまずは交点のx座標をもとめますよね。x^2 -4x+7=3x-2 を解いてx=1/2 (7±√13) ですよね。ここで，切り取られた部分の長さを「点と直線の距離の公式」で求めようとすると，そのあとに交点のy座標を求める必要がありますよね。ここが最も面倒なのです。まあ，x^2 -4x+7=3x-2 を用いて次数下げをすれば少しは楽ですが，√(1+m^2) ・(β-α)の公式を用いた方が断然楽です。

つまり，上述の公式と，２点間の距離の公式とはどう違うのでしょうか？ という質問に対して説明しますと，

1　２点間の距離の公式は２点の座標が分かってないと使えない。
2　上述の公式は，２点を結ぶ直線の傾きがあらかじめ分かっていれば，２点のx座標だけで距離が求められる。

という違いがあります。交点のy座標を求めるのが面倒な上のような問題の時には，√(1+m^2) ・(β-α)　の公式を用いた方がよいでしょう。

お礼

お返事どうもありがとうございます。
なるほど、この公式の利点がわかりました。思っているよりも有用ですね。しかも使う場面が限定されているので使い勝手も良いみたいですね。上のような問いには非常に有効だと言うことがわかりました。公式として位置づけるというよりもイメージでこんなのがあったぁぐらいでいこうかと思います。いざとなれば２点間の距離公式を使えばいいと思うので。でも、使う場面がわかったので、その時は反応できるようにしておきたいです。どうもありがとうございました。

回答No.3

ymmasayan

いろんな考え方があっていいと思います。
私は距離の公式が一般解で、直線上の距離の公式は特殊解だと思います。
つまり距離の公式さえ知っていれば、特に困らないという事です。
公式と言うのはたくさんあって、全て覚えるのは無駄が多いですね。かといって全く覚えないで、全て導き出すのも大変と言う事でしょう。
どこか中間にいいポイントがあるのでしょう。（人それぞれ違います）

今回の場合、直線上の公式は「なるほどね」で済ましておけばいいと思います。
もし、試験に出たら頑張って導き出してください。

お礼

>つまり距離の公式さえ知っていれば、特に困らないという事です。
全て導き出すのも大変と言う事でしょう。どこか中間にいいポイントがあるのでしょう。今回の場合、直線上の公式は「なるほどね」で済ましておけばいいと思います。

お返事どうもありがとうございます。なるほど、納得いたしました。数学勉強してから初めて見たのでちょっと戸惑いましたが、「なるほどね」ですましておこうと思います。ありがとうございました。

回答No.1

siegmund

２点(x1,y1),(x2,y2)間の距離が
(1)　　√{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}
であることはご存知ですよね．

今の話は，傾き m の直線上の話ですから，
２点を(α,γ)，(β,δ)とすると，
(2)　　m(β-α) = δ-γ
です．
(1)と組み合わせて，２点間の距離は
(3)　　√{(β-α)^2 + (δ-γ)^2}
　　　　= √{(β-α)^2 + m^2(β-α)^2}
　　　　= {√(1+m^2)}・(β-α)　　　∵(β＞α)
です．

つまり，もとの(1)の簡単な応用にすぎません．

お礼

お返事どうもありがとうございます。(1)の簡単な応用にすぎないということはわかるのですが、これは覚えるべき事項なのでしょうか？私は疑問なのですが。