２点間の距離を変えない１次変換

質問

お世話になります。
【問題】
行列
( a b )
( c d )
が、２点間の距離を変えない１次変換であるとき、ad - bc の値を求めよ。

【正解】
ad - bc = ±1

【自分の解答】
2点をA ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )、行列によって移される点をA' , B' とすると
A' ( a*x1 + b*y1 , c*x1 + d*y1 )
B' ( a*x2 + b*y2 , c*x2 + d*y2 )
となる。
条件より
( A , B 間の距離 ) = ( A' , B' 間の距離 )
なので
( A , B 間の距離 )^2 = ( A' , B' 間の距離 )^2
よって
( x2 - x1 )^2 + ( y2 - y1 )^2
= { ( a*x2 + b*y2 ) - ( a*x1 + b*y1 ) }^2 + { ( c*x2 + d*y2 ) - ( c*x1 + d*y1 ) }^2
=( a^2 + c^2 )( x2 - x1 )^2 + 2( ab + cd )( x2 - x1 )( y2 - y1 ) + ( b^2 + d^2 )( y2 - y1 )^2

∴
a^2 + c^2　= 1
ab + cd = 0
b^2 + d^2 = 1
(ここから不明)

【質問】
途中まで上のように頑張ってみましたが、正しいかわかりません。
正しければ続きかヒントを、間違いであれば修正かヒントを下さいませんか。
よろしくお願いします。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

1つの方法として、式変形を利用するものがあります。
　　(ad-bc)^2＝(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+bc)^2
　しかし、これだけでは、
　　ad-bc＝±1
という必要条件が求められるだけで十分とはいえないでしょう。
　十分性をいうには、それぞれの符号で成り立つことをいわなければなりませんが、式が複雑になってあまり得策ではないようです。

　もう1つの方法として、変数変換を用いる方法があります。
　　a^2 + c^2　= 1
　　b^2 + d^2 = 1
　この2つの関係から、a,b,c,dを媒介変数θとφを使って次のように表すことができます。
　　a＝cosθ、c＝sinθ
　　b＝cosφ、d＝sinφ
　この置換を使って、
　　ab + cd = 0
の関係を書き直しますと、
　　ab + cd ＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝cos(θ-φ)＝０
　∴θ-φ＝(2n+1)π/2　（n:整数）
とθとφの関係が得られます。
　ここで、値を求める式 ad-bc を変形しますと、
　　ad-bc＝cosθsinφ-sinθcosφ＝sin(φ-θ)
　　　　　＝sin{-(2n+1)π/2}＝±１
となります。
　ここまでの操作はすべて必要十分条件を使ったものですから、
　　∴ad-bc＝±１
が求める必要十分条件となります。

お礼

詳しく説明していただき、ありがとうございます。
実にわかりやすかったです。
なるほど、必要十分性までは考えていませんでした。
非常に参考になりました。

回答No.5

take_5

（a^2 + c^2　）*（b^2 + d^2）＝（ab + cd ）＾2＋（ad - bc ）＾2

これをラグランジェの恒等式という。

お礼

前回の僕の質問ではお世話になりました。
今でも他の方の質問を荒されているんですか？

ラグランジェの恒等式とは知りませんでした。
参考になりました。

回答No.3

phusike

例えば、 (a,c) = (cos s, sin s), (b,d) = (cos t, sin t) とおきますと、
条件は cos(s-t) = 0 と非常に簡単になります。
そして、 ad-bc = sin(s-t) ですね。

お礼

変数変換という手があるのを忘れていました。
参考になります。
ありがとうございました。

回答No.2

debut

a^2 + c^2　= 1
ab + cd = 0
b^2 + d^2 = 1

１番目と３番目を辺々かけると　a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2=1
２番目の式を２乗すると　a^2b^2+2abcd+c^2d^2=0
この２式を辺々引くと　a^2d^2-2abcd+b^2c^2=1
∴(ad-bc)^2=1
とか。

お礼

詳しい計算過程ありがとうございます。
2番目の式を2乗するのは思いつきませんでした。
参考になります。

回答No.1

kumipapa

＞　a^2 + c^2　= 1
＞　ab + cd = 0
＞　b^2 + d^2 = 1
ならば
(a^2 + c^2)(b^2 + d^2) = 1
左辺を展開整理して
(ad - bc)^2 = 1
が導かれます。

お礼

なるほど。
計算してみましたが、簡単に導出できました。
ありがとうございました。