行列の連立一次方程式の単元で

質問

ax+by=0
cx+dy=0
は必ず(ｘ、ｙ)＝(0,0)の解を持つから、↑の解は(ｘ、ｙ)＝(0,0)だけか無数にあるかのどちらかである。
Ａ＝(ab)
----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(ｘ、ｙ)＝(0,0)である。
もし↑の式が(ｘ、ｙ)＝(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、Ａは逆行列を持たない。

＞無数にあるかのどちらかである。
無数にあるというのは、a=b=c=d=0の場合のことでしょうか？

＞Ａ＝(ab)
----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(ｘ、ｙ)＝(0,0)である。
これはdetA=ad-bc[not]=0で、「a=b=c=d=0」でないからでしょうか？

＞もし↑の式が(ｘ、ｙ)＝(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、Ａは逆行列を持たない。
無数に解をもつとき、「a=b=c=d=0」だから、detAが存在しないのでしょうか？

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

yyama19さん、こんにちは。

＞＞無数にあるかのどちらかである。
＞無数にあるというのは、a=b=c=d=0の場合のことでしょうか？

a=b=c=dのとき、行列Aは０行列になるので、
どんな(x,y)を持ってきても積は(0,0)になります（←横に書いてますけど）
だから、もちろんそうなんですが、それ以外にも、
行列Aが逆行列を持たないときは、解は無数にあります。

それは、どういうことかというと、行列Aが逆行列を持たないということは
detA=0
このような行列、例えば
　　1　2
A=(　　　)
　　2　4
を考えてみましょう。
　x　　x+2y　　　0
A(　)=(　　　)=( ）
　y　　2x+4y　　　0

ですが、
x+2y=0を満たすような(x,y)の組は、無数にありますね。
(2,-1)もそうだし、(-4,2)もそうです。
(0,0)以外の実数の組がたくさんあります。

＞＞Ａ＝(ab)
----(cd)(行列のつもりです)の逆行列があれば↑の解は(ｘ、ｙ)＝(0,0)である。
これはdetA=ad-bc[not]=0で、「a=b=c=d=0」でないからでしょうか？

というか、
　x　　0
A(　)=(　)
　y　　0

の両辺に、A^(-1)が存在するならば、それを左からかけると
　　　　　　　x　　　x　　　　　　　0　　0
A^(-1)*A(　　)=(　　)=A^(-1)*(　)=(　　）
　　　　　　　y　　　y　　　　　　　0　　0

なので、(x,y)=(0,0)
であることが、逆行列を左からかけることによって、いえるからです。

＞＞もし↑の式が(ｘ、ｙ)＝(0,0)以外の解を持つならば解は無数にあり、Ａは逆行列を持たない。
無数に解をもつとき、「a=b=c=d=0」だから、detAが存在しないのでしょうか？

解を無数に持つとき、ただちにa=b=c=d=0とはいえません。
連立方程式を解いて
ax+by=0
cx+dy=0
この連立方程式が、今(x,y)=(0,0)以外の解を持つとします。
x≠0,y≠0と仮定しますね。

このとき、
ax+by=0より、y=(-a/b)x
これをcx+dy=0に代入すると
cx+d(-a/b)x=0
{(bc-ad)/b}x=0
(bc-ad)x=0
ところが、x≠0であったため、ad-bc=0でなければならない。
これは、何を意味するかというと、
最初の行列Aの行列式の値が０、すなわち逆行列を持たないことを意味します。

ということになりますね。
a=b=c=d=0
という０行列のみならず、ad-bc=0を満たす行列であれば
(x,y)の組は無数に存在する、ということです。

お礼

どうもありがとうございます！
なんかたくさん勘違いをしていました。
参考にさせていただきます(＾＾)

回答No.2

noname#24477

例として２つの方程式が
ｘ＋２ｙ＝０
２ｘ＋４ｙ＝０
という場合を考えて見ましょう。

これ見かけは違う式ですが実は同じ式です。
この場合片方の式を満たせばいいので答は無数にあります。

グラフでいうと普通は２直線の交点として答が１つになりますが
２直線が重なってしまえば答は無数になるということです。

なお　ad-bc＝０はａ，ｂ，ｃ，ｄの比が
ａ：ｂ＝ｃ：ｄ　　(a/c=b/d)
ということです。
ｃ＝ｋａ，ｄ＝ｋｂ　としてみれば成り立つことがわかると思います。

最後に係数ｃ＝０，ｄ＝０はｘ，ｙが何でもよい、
（グラフでいえば平面全体）になりますから当然成り立ちます。

お礼

どうもありがとうございます。
ぐらふでかんがえるとわかりやすうです。
参考にさせていただきます。