線積分

質問

F=zi-xj+ykが(0,0,0)から(1,1,0)(1,1,1)の順番で進む線分からなる路に沿ってなす仕事を求めたいのですが、公式に当てはめようにも時間tが分からないためできません。何か方法があるのでしょうか？分かる方回答お願いします。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

＃１です。
少し丁寧に解答しますが少し勉強もして下さい。
a=ax i + ay j + az k、b=bx i + by j + bz k
と置くと、aとbの内積(a,b)は
(a,b)=ax・bx + ay・ｂｙ +az・bz　---お分かりですか。
問題ではaが力F、ｂが積分経路に沿った移動ベクトルds=idx+jdy+kdzです。Fsは移動ベクトル方向のFの成分を表します。
これが仕事になります。aの(x,y,z)成分が位置により変化する場合は移動ベクトルを分割して積分で仕事を求めます。積分経路（移動経路）ごとに積分し加えてやります。
F=zi - xj + yk
積分経路（移動経路）はC0：(0,0,0)->(1,1,0)とC3：(1,1,0)->(1,1,1)になります。
C0はさらに
C1:(0,0,0)->(1,0,0)　と　C2:(1,0,0)->(1,1,0)
に分けて考えることができます。
経路C1ではx軸方向の積分ですからds＝i dx 、Fs=zi となります。
同様に毛色C2ではda＝j dy，Fs=-x dy
経路C3ではds＝k dz ，Fs＝yk となります。
仕事＝∫fs・dz
＝∫C1 zdx +∫C2 (-x)dｙ +∫C3 ydz
＝ｚ∫C1 dx -x∫C2 dｙ +y∫C3 dz
＝ｚ∫(0->1) dx -x∫(0->1) dｙ +y∫(0->1) dz
＝z -x + y
これを簡単に書けば
仕事＝(zi - xj + yk,i)+(zi - xj + yk,j)+(zi - xj + yk,k)

この問題では移動経路方向で力の成分が一定であることがポイントです。
また仕事は移動の出発点と終点が同じならどんな経路を通っても同じ仕事量になるというのが物理の法則の一つですね。

お礼

お礼遅れてすいませんでした。

なるほど！内積の意味が分からなかった私の勉強不足でした・・。

そして丁寧な回答ありがとうございました！！

回答No.1

oyaoya65

仕事＝∫Fs ds
＝(zi-xj+yk,i+j)+(zi-xj+yk,k)=(z-x)+y
のように計算すればいいと思います。

仕事は力と移動距離の内積ですから、積分経路毎に内積をとって、それらを加えれば良いです。
最初の移動ベクトルは (i+j),後半の移動ベクトルは（k）になります。

お礼

回答ありがとうございました。

仕事＝∫Fs ds
＝(zi-xj+yk,i+j)+(zi-xj+yk,k)=(z-x)+y
のように計算すればいいと思います。

の部分がよく分からないのですが・・・。よかったら解説おねがいしますm(__)m