δ関数を含む畳み込み積分

質問

こんばんは。わからない問題があるので、考え方だけでも教えていただけると嬉しいです。

問題はδ関数を含む畳み込み積分
f(t)*δ(t-a)=f(a)が成り立つことを証明せよ
というものです。

とりあえず公式にあてはめて∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτ
として考えてみたのですが、
いつも通りf(t)*g(t)の畳み込み積分と同様に考えると、
∫(-∞→∞)f(τ)g(t-τ)dτ=f(t)なので、
∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτ＝f(t+a)となってしまい、
証明に近づくことができません；

まったく間違った考え方をしているのだろうなとは思うのですが、
他に方法も思いつかず・・
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

＞　∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτ＝f(t+a)となってしまい、
そっちが正解だろうと思います。

＞　f(t)*δ(t-a)=f(a)
は、∫(-∞→∞)f(t)δ(t-a)dt=f(a) の間違いではありませんか？

お礼

お返事ありがとうございます。
同じ考えの方がいてすごくうれしいのですが、
やはり問題はf(t)*δ(t-a)=f(a)となることの証明なんです。
問題が間違っているのでしょうか・・

あと、仮に∫(-∞→∞)f(t)δ(t-a)dt=f(a)であったとしても、
これを証明するにはどうすればよいのでしょうか。
なんだか当然の定義として使ってきたので、
証明となるとどうすればいいのか分かりません；

回答No.3

stomachman

ANo.1に１票。

その問題が書いてあるのが教科書であるなら、ここで書名と著者名を晒してください。レポートの課題かなんかならば、出題者に文句言うべし。

お礼

先生の作られた問題だと思います。
問題のミスとのことで、安心しました。
ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

∫(-∞→∞) f(t) δ(t-a) dt = f(a) の証明は、
δ関数の定義のしかたによって異なります。

ワイエルシュトラス流に、
∀g, ∫(-∞→∞) g(t) δ(t) dt = g(0) を
δ関数の定義にしてしまうのが簡単です。
t - a = s で置換積分するだけで、上の式が示せます。

お礼

ありがとうございます。
この問題なら解くことができました。
きっと問題のミスですね。
お時間をとらせてしまって申し訳ないです。