内積がわからない

質問

内積が具体的に何を指しているのかわかりません。
→a・→b＝→|a|→|b|cosθ
図形的にどこを指しているんですか？

あと、教科書で何回読んでも理解不能なところがあったので教えてください。

内積→a・→b＝→|a|→|b|cosθは次のようにしてみることもできる。
→a＝→OA、→b＝→OBのなす角をθとし、
点Bから直線OAに垂線BB´をおろすと
→a・→b＝OA×OBcosθは次のようになる。

0°≦θ＜90°のとき
→a・→b＝OA×OB´

90°≦θ＜180°のとき
→a・→b＝－OA×OB´

図がないのでわかりずらいかもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.5

kkkk2222

www 2515 様

貴殿のＤＡＴＡを拝見しました。難関校を目指している事も判明しました。＜繊細＞な方である事も判明しました。

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本論
＞＞内積が具体的に何を指しているのかわかりません。

以下ベクトルは　ａ、ｂ　と矢印を使わずに表記します。

＞＞a・b＝|a||b|cosθ、図形的にどこを指しているんですか
＞＞教科書で何回読んでも理解不能な・・・
以下数行、貴殿が御記述の通りです。

当方も、図形的意味を何度も思考しては、すぐに忘れてしまいます。

問題の本質は、の図形的意味ではないと推測します。
貴殿は既に、＜図形的意味＞の導出可能です。
＜図形的意味＞をこれ以上詮索しても何も出てきません。

貴殿が、不可解に思う原因は、
＜a・b＝|a||b|cosθ＞が、余りにも＜天下り的＞または＜唐突＞なため、＜内積＞を扱う際に＜何か不安な感覚が起きる＞と推測します。高等学校の＜天下り的＞な式は、＜内積＞と＜ＨＣ＞が代表です。＜ＨＣ＞は数学Ｃの内容のためご存知ないかも知れません。

貴殿の＜不可解さ＞を除去するためには、

＃１　ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθ

＃２　ａ＝（Ａ１、Ａ２）、ｂ＝（Ｂ１、Ｂ２）
　　　　　　　　ａ・ｂ＝Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２　
＃２’　ａ＝（Ａ１、Ａ２、Ａ３）、ｂ＝（Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３）
　　　　　　　　ａ・ｂ＝Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２＋Ａ３Ｂ３

＃２、＃２’は自然な式です。
この式を＜内積＞の＜定義＞として＜体内＞に取り入れる方が得策であると思います。しかる後、ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθを＜手段＞として使用するのが良い様です。

＜a・b＝|a||b|cosθ＞が原因で、ベクトル全体を＜不明＞と感ずる生徒は、あとをたちません。＜定義＞は＃１でも＃２、＃２’どちらでもＯＫです。
教科書が、不可解な＃１を採用した理由は、極最近書きましたので、ＬＩＮＫします。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2913714.html
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以上が本論ですが、もうすこし記述します。

ベクトルの問題はふたつに分けると、
＃２１＜チェバ・メネララウスを代表とする、比のみの問題＞数学では＜アファイン空間＞と呼ばれます。
＃２２＜大きさ（長さ）、角度を含む問題です＞数学では＜ユークリッド空間＞＜計量空間＞などと呼ばれます。

＃２２の計算で　ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθ、が不可欠である事は書くまでもありません。cosθを求める際、この式または余弦定理を用います。
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稀にa・b＝|a||b|cosθの図形的意味が必要になる場合があります。代表的なのは原点と直線（平面）の距離を求める際に使用される、
ｐ・ｅ＝ｈ　です（詳細は略しますが、実に美しいです）。古くは、ヘッセの標準形とよばれました。
終わります。

ＧＯＯＤ　ＬＵＣＫ
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お礼

＞貴殿が、不可解に思う原因は、
＜a・b＝|a||b|cosθ＞が、余りにも＜天下り的＞または＜唐突＞なため、＜内積＞を扱う際に＜何か不安な感覚が起きる＞と推測します

全くもってその通りです。どこからか急にポンって出てきて理解しづらいです；

＞この式を＜内積＞の＜定義＞として＜体内＞に取り入れる方が得策であると思います。しかる後、ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθを＜手段＞として使用するのが良い様です。

最終的に理解できなかったらそうします・・・。ありがとうございました。