内積がわからない

質問

内積が具体的に何を指しているのかわかりません。
→a・→b＝→|a|→|b|cosθ
図形的にどこを指しているんですか？

あと、教科書で何回読んでも理解不能なところがあったので教えてください。

内積→a・→b＝→|a|→|b|cosθは次のようにしてみることもできる。
→a＝→OA、→b＝→OBのなす角をθとし、
点Bから直線OAに垂線BB´をおろすと
→a・→b＝OA×OBcosθは次のようになる。

0°≦θ＜90°のとき
→a・→b＝OA×OB´

90°≦θ＜180°のとき
→a・→b＝－OA×OB´

図がないのでわかりずらいかもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.4

Goswami · ベストアンサー

高校のベクトルの授業で出てくる内積の説明の仕方は非常に曖昧で、何のために内積を定義しているのかわかりづらいですよね。ベクトルの初学者に説明するにはそのような記述方法しかないのですが、ここでは実際に内積の利用方法の１つを説明したいと思います。

　まずは座標平面上の好きな位置に好きな大きさ、向きのベクトルaを書いてみます。適当に書いたためこのベクトルaのx成分、ｙ成分（終点から始点を引いた座標のこと）は全くわからないはずです。ここで、x成分が1,y成分が0のベクトルe1を定義します。そして、内積a・e1を定義どうりに計算すると　　
a・e1=|a||e1|cosθ=|a|*1*cosθ=|a|*cosθ

となります。これは最初は気づきにくいのですが、aのx成分を表しています。つまり、ベクトルaをx方向とy方向に分解させたときのx方向のベクトルの大きさのことです。逆にx成分が0y成分が1のベクトルe2を定義し、aとe2の内積を計算結果がaのy成分です。

　以上の内容を実際に紙に書いてやってみるとイメージがわくと思います。座標同士を直接かけていく内積の計算も合わせてしてみるとわかってくると思います。

　では、e1,e2ではなく一般のベクトルbだったらどうするんだ?という疑問がわくかもしれませんが、b＝|b|*（大きさ１でｂと平行なベクトル）と考えれば、内積=ベクトルaのb方向の成分＊|b|だとわかると思います。

　説明がへたくそで申し訳ないです。ベクトルの内積と言う概念は非常に大事で高校では座標平面状の幾何ベクトルの内積しか扱いませんが実は関数の内積なども定義されています。というのも、実は関数もベクトルであるんです。これは蛇足なのでぜんぜん気にしなくて良いのですが、内積は本当に大事な概念なので幾何的なイメージと代数学（計算）的なイメージをリンクできるまで、簡単な教科書の内積の計算問題の結果を座標平面状に書いて見ると良いと思います。

お礼

＞a・e1=|a||e1|cosθ=|a|*1*cosθ=|a|*cosθ
となります。これは最初は気づきにくいのですが、aのx成分を表しています。つまり、ベクトルaをx方向とy方向に分解させたときのx方向のベクトルの大きさのことです。逆にx成分が0y成分が1のベクトルe2を定義し、aとe2の内積を計算結果がaのy成分です。

ああ！そうですね！今すごいよくわかって思わず興奮しました！
本当にありがとうございます！毎回書いてみようと思います！