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直積集合の元は必ず集合となる?
noname#221368の回答
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そうだったんですか。失礼しました。でも、状況がだいぶわかってきました。最初にブルバキの集合論の構成とさわりをあげておきます。最近はブルバキも見つけにくいので。 ブルバキ集合論の第１章は「形式的数学の記述」です。第２章が、いわゆる公理的「集合論」になります。 第１章では、命題理論と述語理論と等号付理論が、形式体系として導入されます。第２章もそうですが、素朴な考えを一切排除するが、原則です。ただし、素朴な考えがなくても純形式的公理的議論で事は済む事を示してから、対応する素朴集合論などの概念で解釈・説明することは行われます。そうでないと、実際わけわかんないですから。 そこでは対象式は、記号τで始まる記号列であるか、一つの文字だと定義されます。そうでない記号列は関係式です。以前ご紹介したHPのやり方と同じです（このHPは、かなりブルバキに準拠してると思います）。ただブルバキは、コテコテの古典論理なので、強すぎない消去規則や弱すぎない消去規則なんかは出てきませんし、自然推論にも翻訳されず、もっとストレートです。 この段階で問題にしている対象とは、具体的に記述可能で、しかも必要ならば全て目の前に並べてみせられるであろう、有限個の記号列のことです。これをブルバキは、証明や公理不要な素朴な数学的対象と考えています。この中には、自然数全体の集合Ｎなどは含まれません。Ｎと書いたら、それはとにかくＮで表すことにした、一つの有限個の対象です。有限個だから、頑張れば必ず書いてみせれるというのが、その根拠です。 で、素合ですが、素合は恐らくこのレベルだと思います。これが無限公理導入後に存在が証明される自然数全体を表すα（とてもとても長い関係式）を略記するものとして定義されたＮのことだったら、話は違います。この時には、Ｎには無限個の自然数が詰まっています。しかし素合は、無限公理とペアノの公理系導入以前のものですから、著者の意識は、さっき言ったレベルだと想像できます。もっとも、このような素朴な対象については、公理など立てずに（[素合の存在公理]）、さっき言った根拠から、あっさり認めてしまうのが普通だとは思いますが、でもそれによって、論旨が明確になると思うのは著者の自由ですし、確かにそういう意味での素合を認めなければ、公理的集合論も展開できないのは事実です。 誤解していたので、#6では生意気な事を書きましたが、今ではそれが的外れだったと思っています。だから言っちゃいます。 (1)素朴集合論がなくても、純形式的・公理的に集合論はつくれる。 (2)でも、素朴集合論の概念で解釈しないと、訳わかんない。
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有難うございます。 じっくり勉強を続けたいと思います。