直積集合の元は必ず集合となる?

質問

度々すいません。また数学基礎論での質問です。
a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。
そして、
A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。
と記載されているのですが、
これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。
(A×Bの元<a,b>は2^(2^(A∪B))の元?)
でも
通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。
A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、
元は集合にも成りうるのでしょうか?

具体的には
a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

回答No.4

noname#221368

普段はここまで注意して数学書を読んでいないので、この疑問は新鮮でした。
　まず#1さん，#2さんの仰っていることは全く正しいのですが、次のような怠慢な読み方も可能ではあります。

　　Ａ×Ｂは集合の集合である。しかしＡやＢの要素は、集合でもそうでなくても、どちらでも良い。

　恐らくですがYYoshikawaさんは、<a,b>={{a},{a,b}}を見たとき、
　　Ａ＝{{a}，{a'}，・・・}，Ｂ＝{{b}，{b'}，・・・}
でなければならない、というようなイメージが浮かんだのではないかと想像しました。そうではありません。
　　Ａ＝{a，a'，・・・}，Ｂ＝{b，b'，・・・}
でも<a,b>の作成（ここが重要です）は可能です。要は、Ａからa，Ｂからbを選んだ時に、a，bの順序で順序対<a,b>∈Ａ×Ｂが決まれば良いだけだというのが、<a,b>={{a},{a,b}}の趣旨です。実際a∈Ａとb∈Ｂを指定した時点で、この定義によりa，bはa，bの順序に並びます。同語反復っぽくてわかりにくいですが、集合論にはprojection（射影）と呼ばれる、これとは反対の操作があります。それを関数pr_Aとかで表し、
　　pr_A(<a,b>)＝a
となります。要は、集合の集合<a,b>から、それの材料aを取得するという関数です。圏論ではprojectionの逆の操作を表す関数をまさに用意し、その関数が<a,b>={{a},{a,b}}のかわりになっていた気がします。関数なので、その定義域ＡやＢの要素、aやbは「集合であろうがなかろうが、知った事か！」です。
　余談ですが、
＞aを要素した時,どうやってこれを集合にさせれるのか？
については、
　　aと{a}（← 同じじゃん！）
というのが、私のいい加減な感覚です（もちろん厳密には違います）。

お礼

ご回答有難うございます。

> Ａ×Ｂは集合の集合である。しかしＡやＢの要素は、
> 集合でもそうでなくても、どちらでも良い。
怠慢な読み方しなかったら
非集合の場合は順序対の定義ができませんよね。

> 恐らくですがYYoshikawaさんは、<a,b>={{a},{a,b}}を見たとき、
> Ａ＝{{a}，{a'}，・・・}，Ｂ＝{{b}，{b'}，・・・}
> でなければならない、というようなイメージが浮かんだのでは
> ないかと想像しました。そうではありません。
うーん、そうではありません。
「a,bをそれぞれある集合の元として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。」
なら納得したのですが
「a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。」となっていたので、
えー!!、R×R∋(√2,1/2)の√2や1/2は集合だったの!?
と驚いてしまったのです。

厳密な議論をする場合、
「a,bをそれぞれある集合の元として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。」
という定義だと何かまずい事が発生するのでしょうか?