確立の証明

質問

問題は理解しているのですがどうやって示せば良いのかわかりません。助けてください。

A∩B = φ ←(ゼロに斜め線が入ってる)

ならば

P(B|A) = 0　

を示せ。です。

回答No.2

ymmasayan · ベストアンサー

A∩B = φ は事象Ａと事象Ｂが排他事象であり、同時には生起しないこと（空事象）を意味します。例えば、事象Ａ（私＝男性）と事象Ｂ（私＝女性）は排他事象です。

一方、P(B|A) は、事象Ａが生起した時に事象Ｂが生起する確率（Ａが生起したという条件下なので条件付確率と言う）です。

ＡとＢは排他事象なので、Ａが起こった条件下ではＢは絶対に起こりません。
従って、P(B|A) = 0　 ということになります。

φと０の違いですが、φは空事象を表し、０は確率０を表しています。確率＝空事象／全事象＝φ／Ω＝０　ということです。（Ω：全事象）

回答No.5

nozomi500

ひらたくいえば、Aが「偶数」、Bが「奇数」で、
サイコロを１個ふったときに、偶数も奇数も出る確率、ということになりますか？

回答No.4

ymmasayan

No.2のymmasayanです。
No.3の方にご指摘頂いた「排他事象」確かに「排反事象」が正しいです。すみません。
もう一つ、ミスに気づきました。

＞　確率＝空事象／全事象＝φ／Ω＝０

正しくはｎ（φ）／ｎ（Ω）＝０　ですね。

あと、分野によって記号などが違うのは不便ですね。私はＯＲ（オペレーションズリサーチ）の分野で確率・統計をやりましたので、純理論分野とは多少違っているようです。

回答No.3

mozniac

No.2の方の補足です。

現在の高等学校では、A∩B = φ であるとき事象Ａと事象Ｂ「排反事象である」と呼ばれます。（排他事象と呼ばれるのは知りませんでした）

あと、P(B|A)が現在の表記法と違うので、条件付き確率のことであるのも知りませんでした。感謝。

で、証明方法ですが、

証明

A∩B = φより、P(A∩B)=0

P(A∩B)=P(A)P(B|A)（条件付き確率の式）
が成り立つから、
P(A)P(B|A)=0
両辺をP(A)で割って
与式が成り立つ

証明終わり

P(A)が0のときも考えるなら、場合分けをして証明になると思いますが、今回は必要ないでしょう。

回答No.1

starflora

記号法がちょっと分からないので、自信なしにします。

　　最初の式は、集合ＡとＢが、「共通成分」を持たないということを意味します。

　　次の式は、Ａ｜Ｂとは何かなのですが、ＡとＢが共になりたつ時の要素の場合と考えられます。この確率がゼロとなっている訳です。

　　こういう確率は、Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝｜Ａ∩Ｂ｜／｜ＡＵＢ｜となるはずですが、
　　｜ＡＵＢ｜≠０　で、｜Ａ∩Ｂ｜＝０　ですから、
　　Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝０／｜ＡＵＢ｜＝０　となります。