くじ引きの確立について質問です。

質問

くじ引きの確立について質問です。
こんな問題がありました。

・当たりくじを3本含む10本のくじがありました。A,B,C,がこの順で1本ずつくじをひく。
Bがあたりの確立は？

この問題に対してぼくは、Aが外れる確率は７/１０　Bが当たる確率は３/９　Cが外れる確率は６/８　
よって、すべて掛けて、７/４０　が求める確率であるとしましたが、答えとあわず、どう考えていいかもわかりません。

解答にはこう書いてありました。
「10本のくじから3本取り出して並べる順列の総数は　10P3 通り（わかりにくいかもしれませんが、Pとは順列だ使うPとしてください。）Bが当たる場合、A,Cがあたりでもはずれでもいい場合の数は3×9P2 通り　よって、
3×9P2/10P3=3/10」

この分を打ちながら、もしかして、僕が求めた確率は、Bだけが当たる確率。解答が求めた確率はBが当たる確率。つまり、Bが当たるなら、A,Cは当たってても、外れててもいい確立。そう考えると納得してしまいました・・・
間違いであれば指摘の方よろしくお願いします。

それと、もう一つ聞きたいのが、「A,Cがあたりでもはずれでもいい場合の数は　3×9P2 通り」とありますが、３をかけてますが、どっから来たんですか？9P2とは、Bがあたりだから、残り9本のくじをA,Cに取って並べる順列である。それを3倍？？？？？って感じになっています。
一応考えてみたんですが、当たりくじが区別されていたら、例えばp,q,rと。
そしたら、BのあたりくじがPのとき、A,Cの9P2通りで、Bの当たりくじが、q,rの場合があるから、３倍かも。なんて思ったりしてしまいます。
つまり、Bの当たりくじp,q,rそれぞれに対して、A,Cの並べ方が9P2通り存在するってことです。しかし、確信がない以上わかりません。

なんか、大変申し訳ない質問になってしまって申し訳ないのですがよろしくお願いします。

回答No.2

pasocom · ベストアンサー

まあ、数学的に考えれば、そういう計算方法もあるのでしょうが。
もっと簡単に考えれば、「A、B、Cがこの順でくじをひく」といっても順番は何の関係もないのであって、C、B、Aの順にひいてもその他の順番でひいても、はたまたA、B、Cが同時にひいても同じです。
結局10本のくじの中から当たる確率なので誰でも当たる確率は3/10です。

もうちょっと数学的に質問者様の計算方法で解くなら
1)Aが外れる確率は7/10、その後Bが当たる確率は3/9。Cは関係ないので、このケースが起こる確率は
（7/10）ｘ（3/9）＝21/90。
2)また、Aが最初に当たる確率は3/10。続いてBも当たる確率は2/9。このケースが起こる確率は
（3/10）ｘ（2/9）＝6/90。

よって求める確率は、1)＋2)＝27/90＝3/10　となります。

お礼

回答ありがとうございます。
大変に分かりやすかったです。
本当にいつも思います。頭の中であれこれ考えて、数式に意味をもたせる。これがこんなに楽しいのかと。

ほんとうにありがとうございました。

回答No.1

noname#185706

>この分を打ちながら・・・そう考えると納得してしまいました

>それと、もう一つ聞きたいのが、・・・つまり、Bの当たりくじp,q,rそれぞれに対して、A,Cの並べ方が9P2通り存在するってことです。

両方とも、それで合っています。

お礼

回答ありがとうございました。
しかも、文って打ち間違いしてました。申し訳ございません。
これで、確信を得ることができました。
本当にありがとうございます。