証明問題？(積分)

質問

P(x)　が3次の整式であるとき、次の式が成り立つことを示せ
　∫(a,b) P(x)dx = {(b-a)/6}*[P(a)+P(b)+４P{(a+b)/2}]

と言う問題です。 ∫(a,b)は、aからbまで積分する　と言いたかったんです（どうかけば良いか分からなかったので..
お願いします。

回答No.1

hitomura · ベストアンサー

少々力押しですが、
　P(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
として、両辺を計算してみましょう。

…それとも、そういった力押しをせずに解く方法はないか、という意味でしょうか？

お礼

力押しですね。
ありがとうございます。多分できたと思います(何

回答No.3

hitomura

＞#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、
＞P_n(x)=(c_n)x^nという単項式（c_nはn次の項の係数）とおいてみると、
＞n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽にわかります。
(No.2のkony0さんの回答、一部省略)
あぁっ、まったくもってそのとおりでした(^^;

これは積分の線形性によってそのようなことがいえるのですが、また線形性によって証明すべきことは
　Q_n(x)=x^n
で済みます。
＃念のため、ベクトル空間Ｖの元に対する演算Γが線形であるとは、
＃Ｖの任意の元v,wと定数aに対して
＃（１）Γ(v+w)=Γ(v)+Γ(w)
＃（２）Γ(a*v)=a*Γ(v)
＃が成り立つことを言います。
＃３次までの多項式全体をＰ（３）と書くと、これは４次ベクトル空間であり、
＃aからbまでの定積分はＰ（３）から実数への演算となります。
＃この定積分に対して（１）と（２）が成り立つので証明すべき式はQ_n(x)=x^n(n=0,1,2,3)
だけで済みます。

お礼

既に未知の領域です(汗
先に自分がどこまで分かるのか言っておいた方がよかったですね

回答No.2

kony0

#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、
P_n(x)=(c_n)x^nという単項式（c_nはn次の項の係数）とおいてみると、
n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽に（いや、本質的にやるべきことはまったく変わらないのですが^^;項がいっぱいあると目がちかちかするかな？と思って）わかります。ちなみにn=4のとき上式が成り立たないこともわかります。（それ以上のnについては考えてもいません）
任意の３次式で成立するならば、単項式でも成立するはず（係数が０の特別な場合）という考え。
あとは、P(x)=P_0(x) + P_1(x) + P_2(x) + P_3(x)を考えて、一般の３次多項式でも成り立つということではだめでしょうか？

さて、３次関数の図形的性質みたいなものはあるのでしょうか？！（考えてもいないですが^^;）

お礼

まあいいや。ありがとうございました

補足

あの…、 _ の意味が分からないんですけど…。すいません。