数学？物理？？ 式がまとまりません！

質問

交流回路に加えられたデ電圧と流れる電流がV=V0sin(ωt+φ),I=I0sinωtのとき、この回路での消費電力の平均P=VeIe cosφ,VeIe=V0I0/2であることを証明する問題です。

まず、消費電力P=V×Iですよね。そして、消費電力の平均値はその値を２で割る、つまりP=VI/2ですよね。ということは、問題のVとIをかけて２で割ればよいのですよね？しかし、計算のまとめ方が分かりません。まず、三角関数のsin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβの式を使って式を展開すると、VIはsin2ωt cosφ+cosωt sinωt sinφとなりますよね。しかし、ここからどうまとめるとcosφになるのでしょうか？ヒントをください。

よろしくお願いします。

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

消費電力の平均値は時間平均であることは理解されているでしょうか。
∫ＶＩｄｔ＝Ｖ０Ｉ０∫ｓｉｎ（ωｔ＋φ）ｓｉｎ（ωｔ）ｄｔ

そして三角関数の加法公式でもいいのですが、別の公式
ｓｉｎ（α）ｓｉｎ（β）＝（ｃｏｓ（α－β）－ｃｏｓ（α＋β））／２
を使います。

ｃｏｓ（α－β）はこの場合定数ｃｏｓφになりますね。第２項のｃｏｓ（α＋β）は周期関数ですから、１周期積分すると消えてしまいます。

お礼

なるほど！！
とても分かりやすいご説明をありがとうございます。

ただ、一つ疑問ですが、消費電力の平均値は消費電力を２で割るのは、なぜですか？時間平均というのはわかりますが、なぜ２なのでしょう？
それと、なぜ時間平均だから積分するのでしょうか？

回答No.2

tatsumi01

No. 1 です。

書き忘れましたが、時間平均の積分は時間０からＴまで取り、積分値をＴで割ります（時間平均）。Ｔは十分長く取りますが、周期関数だったら周期と同じです。

ｓｉｎ（α）ｓｉｎ（β）＝（ｃｏｓ（α－β）－ｃｏｓ（α＋β））／２
ですから、第１項はｃｏｓφ／２ですね。

時間平均が積分になるというのは、積分が面積を求めるものであることから理解して下さい。ある関数が時間軸と囲む面積を時間（積分長）で割ると瞬間の値が出ますが、これが平均値（時間平均）です。

お礼

早速、ありがとうございました。
とてもよく分かりました！！

本当に助かります。どうもありがとうございました！