合成関数

質問

Asinωt＋ Bcosωt＝Ccos(ωt＋Z)　に変換できるみたいなのですが、Cは、√（A2＋B2）というのは、わかるのですがZは、どう表すのですか？

回答No.1

kakkysan · ベストアンサー

こちらに詳しい解説が載っていました
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/trifuncCombine/index.pdf

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

noname#26313

Asinωt＋Bcosωt．を変形します。
Asinωt＋Bcosωt=√(A^2+B^2)・[{A/√(A^2+B^2)}・sinωt+{B/√(A^2+B^2)}・cosωt]
A/√(A^2+B^2)=cosY
B/√(A^2+B^2)=sinY
とすると、Y は、直角を挟む二辺の長さが A と B の三角形の一つの頂角であり、これを満たす Y は必ず存在する。
この Y は、tanY=B/A．より、Y=arctan(B/A)．と表わされる。
上の式において、A/√(A^2+B^2)、B/√(A^2+B^2)．をそれぞれ、cosY、sinY．に置き換えると、
Asinωt＋Bcosωt=√(A^2+B^2)・[cosY・sinωt+sinY・cosωt]
=√(A^2+B^2)・sin(ωt+Y)
=√(A^2+B^2)・cos{-(π/2)+(ωt+Y)}
=√(A^2+B^2)・cos[ωt+{Y-(π/2)}]

これを、√(A^2+B^2)・cos(ωt+Z)
と書くことにすると、
Z=Y-(π/2)=arctan(B/A)-(π/2)

Z は、arctan(B/A)-(π/2)．と表わせる。

回答No.6

jamf0421

書き方がわるかったです。質問者はZをもとめています。気にしているところが違っていただけです。
No3の方の回答ですと、Csin(ωt+α）=Asinωt + bcosωtが出ています。勿論これでよいのですが、Csin(ωt+α)をCcos(ωt+Z)にしてやらなければなりません。
Csin(ωt+α）=Ccos(π/2 -ωt-α）=Ccos(ωt+α-π/2)
従って質問者の聞かれているZ=α-π/2であり、tanα=b/aでありますが、tanZ=-a/bということが言いたかっただけです。No.4の書き方が余計で済みませんでした。

回答No.5

ht1914

＃３です。
角度αの意味が分かりにくいということなので改めて書きます。

直角三角形ＡＢＣ（ＡＢＣは反時計回り）で底辺ＢＣ＝ａ、対辺ＣＡ＝ｂ、斜辺ＡＢ＝ｃです。角Ｃが直角です。角Ｂの角度をαとしました。

ｔａｎα＝ｂ／ａ　です。
この三角形をＢを原点として角速度ωで回転させます。形は変えません。大工さんの使う曲尺を回転させたとして貰ってもいいです。これだと二本の棒が繋がっているというイメージになります。

後は＃３をみて下さい。図を書けばすぐに分かります。

私がこれを考えたのは「単振動の合成」という名前が付いているのに運動とか振動のイメージが一切説明の中に入ってきていないからです。ただ数学的に三角関数の変形、加法定理の応用でしか説明されていません。私が高校で習ったときからそうです。数学の人は「単振動」を単なる言葉の符号としてしか考えていないのではないかなとさえ思いました。物理の方が数学に引きづられていては困るという気持ちもあります。下手すると現象と表現でなくて表現が全てになってしまいます。
今の数学は図形的な要素を出来るだけ排除しようとしています。私の書いた方法も一般性に欠けると批判されるかもしれません。
加法定理　ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）、ｃｏｓ（ｘ＋ｙ）の証明も図形で考えています。角度ｘの直角三角形（１）の斜辺の上に角度ｙの直角三角形（２）をつなぎます。（１）の斜辺が（２）の底辺になります。この方法は昔の数学の本には載っていました。現在の高校の数学の本には載っていません。数学の先生に聞くと一般性に欠けるからだという話でした。でもこの解法の図が入試に出て面食らってしまった人がいるというので驚きました。

後は

回答No.4

jamf0421

ANo2の回答をしたものです。（ZについてA/B=-tanZとしました。sinとcosをsinにまとめるとtanZ=B/Aになり、cosにまとめると-tanZ=A/Bになります。)
ANo.3の方のご回答のαの意味が不明確に感じましたので補足を書き込みます。

もともとの関数でA=0とします。
このとき式はBcosωt=Ccos(ωt+Z)となります。このときにB=Cかつ Z=0(正確にはnを整数として2nπ)または、B=-Cかつ Z=π（正確には(2n+1)π）となっている必要があります。これはC^2=A^2+B^2とA/B=-tanZを満たします。

回答No.3

ht1914

＃１の回答の資料に載っている図を使います。

直角三角形ＡＢＣの底辺がａ、対辺がｂとすると斜辺ｃ＝√（ａ２＋ｂ２）になります。この時の角ＡＢＣはｔａｎα＝ｂ／ａで決まります。
ここまでは同じです。でもここからが違います。

この三角形を三角定規のようなもので考えて下さい。端Ｂを押さえてぐるぐる回して下さい。Ｂは直角座標の原点となります。回転の角速度をωとすると辺ＢＣとＸ軸との間の角度はωｔです。辺ＣＡとＸ軸との間の角度は（ωｔ＋９０°）です。ＡＢとＸ軸の間の角度は（ωｔ＋α）です。３つの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡのＸ軸、Ｙ軸への射影はそれぞれ
Ｘ軸：ｃｃｏｓ（ωｔ＋α）、ａｃｏｓωｔ、－ｂｓｉｎωｔ
Ｙ軸：ｃｓｉｎ（ωｔ＋α）、ａｓｉｎωｔ、ｂｃｏｓωｔ
です。図を書いて見ればすぐに分かります。
図より、
Ｘ軸：ｃｃｏｓ（ωｔ＋α）＝ａｃｏｓωｔ－ｂｓｉｎωｔ
Ｙ軸：ｃｓｉｎ（ωｔ＋α）＝ａｓｉｎωｔ＋ｂｃｏｓωｔ

ｃ＝√（ａ２＋ｂ２），ｔａｎα＝ｂ／ａです。

三角形の板の回転です。
棒の回転をＸ　方向、Ｙ方向から見ると単振動になっています。２つの棒の組み合わせなので単振動の合成と呼ばれています。同じようにやれば直角三角形ではないときの合成式を出すことも出ます。

回答No.2

jamf0421

一つ目の回答の資料をご覧になればよいのですが、単純な計算で容易に分かります。三角関数の加法定理cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBをcos(ωt+Z)に適用して左辺と比較すれば
A=-CsinZ, B=CcosZ
となり、A^2 + B^2 =C^2、およびA/B = -tanZ
が簡単にでます。