2つの単振動の合成について・・・・・・

質問

x1=asinπtとx2=bcosπtを合成した場合・・・・同一方向で周期の等しい単振動の合成を行えばいいのでしょうか？
解き方がわからないので・・・・・・

回答No.2

jesalice · ベストアンサー

高校生の物理の問題と予想して答えますね

問題に特に指定がなく、またx1、x2という書き方をしていることから
x軸方向のみ(同一方向)で考えていいと思います。
(どうしてもx1とx2が別方向を向いてるような場合を考えたいのならば、
x1ベクトルとx2ベクトルのなす角θを勝手に設定して解くこともできますが・・・)

周期に関してはsinの中身を見てやればx1とx2の周期が同じであることがわかります。
単振動の式の一般形はx=Asinωtと高校の教科書にも書いてあったはずですが、
これを上の式と比べて見るとx1もx2もω＝πです。
ωは角速度とか角振動数などと呼ばれるもので周期ＴとはＴ＝2π/ωの関係にあります。
ですのでこの場合、「同一方向(1次元)で周期の等しい(Ｔ＝２)単振動の合成を行う」というfantazicalさんの解釈で大丈夫です。

問題の解釈はこのくらいにして本題。

二つの三角関数の合成でもasinθ,bcosθの合成はきれいな形にできて、
三角関数の合成公式としても知られています。それは
asinθ＋bcosθ＝rsin(θ＋ψ)　　・・・(1)式
(ただしr＝√(a^2＋b^2)、ψはsinψ＝b/r、cosψ＝a/rを満たすような角度)
というものです。
なんでこんな風になるのか、どうやってこの式が導かれたのか、というのは
(その発想の仕方を考える事も大事だけど)ひとまずおいといて、
この(1)式の関係式が成り立つかどうか、(1)式の右辺を加法定理で展開して
(1)式の左辺になることを証明してみてください。
あとはθにπtを代入してあげれば問題はとけます。

ψが具体的な値じゃなくて「～を満たすような角度」という表現は気持ちが悪いかもしれませんが、
これ以上ψについて求めることはできません。というよりも
条件を満たすようなψは一つしかないのでこのように解答すれば問題ありません。
少し専門的な記号を使えば「ψ＝なんとか」の形に書けなくもないですが、高校の範囲ではこのような表現でＯＫです。

二つの三角関数の合成は物理ではちょくちょく出てくる計算です。
ここではsinθとcosθの合成を問題としましたが、実際にはもう少し一般的に
sinθとsin(θ+φ)の合成(φはいろいろな値)という問題も高校数学のレベル(加法定理)で解けます。(θ＝π/２の時、sinθとcosθの合成になるのがわかりますか？)
後々使う機会もあるでしょうから暇な時にでも確認してみてください。

以下、有名な物理学の勉強を記事を書いてるサイトの単振動の合成の部分のURLを貼っておきます。
このサイトは大学レベルのものを主に扱っていますが、高校レベルのものもわかりやすく書いてあるので
興味があればいろいろ見てまわると面白いかと。

[物理のかぎしっぽ]三角関数の合成
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/trifuncCombine/

回答No.1

Willyt

これは同じ周期の単振動で位相差が９０度の振動の合成です。位相差があるところがミソです。

Asinα+Bcosα＝sqr(A^2+B^2)sin(α+δ）但しδ＝tan-1(B/A) を使います。