張力を表す式（比例関係にならない場合）

質問

以前、中学の理科でフックの原理（バネの伸びは加えた力に比例する）
を習いました。が、この関係に従わない物質がたくさんあると思います。
張力が指数的に増加する場合、どうしてそうなるのでしょうか？
また、比例関係になる場合は、どんな点が特別なのでしょうか？
どんな式関係で予測したらいいかは、どうしたら分かりますか？
ぜひお教え下さい。

回答No.3

hagiwara_m

hagiwara_mです。

「弛緩した血管」などをお考えということは、生物・医学的な分野に対象物があるものとお察しします。普通の(物性)物理で「物質」というときは、主に結晶構造だけで区別できるような単純なものを考えますが、生体ともなると、様々なスケールに構造があり、しかもそれが様々な条件で変化することを考えねばならないのだと想像します（この方面には私は疎いので良く分かっておりませんが、、）。

> 比例関係が成り立たない場合、変異が小さいと呼べる範囲を超えているから
> と言うことは正しいでしょうか。

高分子材料などの場合は、弾性的な性質に加え、粘性流体的な性質も現われます。変位の初期段階からフック則が成立たない材料もめずらしくないと思います。

まして生体関連の物体ともなると、その様々なスケールの構造によって、いくらでも特殊な状況が生じ得るのではないでしょうか。ただし、「応力が変位に対して指数関数的に増大する」のであれば、粘性的な効果ではなく、むしろばねの話にアナロジーがあり、伸びることで内部変形の自由度が順次失われていくことが効いているようにも思えます（単なる私の想像です(^^;）。いずれにしても、純物質の性質として考えるのではなく、全体の構造を考えないと議論できない問題と思います。

お礼

hagiwara_m さん、ご親切なお答え感謝いたします。
構造物によっては張力を決定する要因が変形により
変わり得るということは納得できます。が、張力が
単純に指数関数的増大を示す場合、どういう状況を
用意するとそういう現象が起こるのかが気になります。
高分子材料についての言及、ありがとうございました。

補足

問題が解決した訳ではありませんが、この辺でうちきらせて
いただきます。ただし、追加も訂正もできなくなる締め切りを促して
中途半端なＱ＆Ａを増やすのは、教えてgooの趣旨とは違うのでは
ないかと疑問に思うところです。

お答えありがとうございました。

回答No.2

hagiwara_m

No.1に補足します。

一定の形をもつ結晶が存在するということは、内部の原子間に斥力・引力の両効果が働いていて、その結果として安定な釣り合い状態が実現しているということです。この釣り合い状態での復元力はゼロ、そこからずれると復元力が働きます。このようなときの一番簡単な関数形が、復元力が変位に比例するというものです。変位が十分小さければ、(普通の場合は)物質によらずにこの比例関係が成立ちます。

変位が小さいときの弾性領域では、結晶の枠組みを壊す事なく原子が変位し、また元にもどります。一方、ある段階より大きな変位を与えると、結晶に元に戻せない変化(転位という)が起き始めます。こうなると、復元力は、フック法則を延長した場合より小さくなります。

バネにおいては、結晶の単純な伸びではなく、ねじれが変位になります。ただし、極端に伸ばし過ぎてしまうと、ねじれる余地がなくなり、単純に伸びるしかなくなります。このとき、応力は急に増大することになります。

> 張力が指数的に増加する

という例は、私は知らないのですが、何かのモデルでそうなるのでしたら、是非お知らせ下さい。

お礼

hagiwara_mさん、遅くなりすみません。
再度のお答え大変感謝いたします。
最初のお話は、直感的にはよく理解できます。
が、比例関係が成り立たない場合、変異が小さいと
呼べる範囲を超えているからと言うことは正しいでしょうか。
新たな疑問です。
張力が指数的に増加する例としては、弛緩した血管を引っ張って
張力を測定すると大体そうなるようです。その他の管状の物質は
そうではないのでしょうか？　オンラインで調べてみましたが
見当たりませんでした。

回答No.1

hagiwara_m

十分なお答えにはならないですが、考え方についてコメントしたします。

バネにせよ、その他の線材にせよ、伸ばしたときに戻ろうとする力の原因は、その材料の中の原子・分子間の結合(凝集)力です。この凝集力には、様々な機構が関与していますが、実は、どれも距離に対して直線的な(線型)関数ではないのです（クーロン引力などもその一例ですね）。ならば、何故フックの法則などが成立つかといえば、それは、一つ一つの要素(原子ペア)に着目したとき、変位がごく僅かだからです。各要素の変位は僅かでも、その要素が莫大な数だけあるので、全体として巨視的な伸びになる－こういう状況です。ここで、線型でない関数でも、滑らかである限り、微小な変化に対しては直線関係で近似されます。その結果、微小な変位の集まりとして現われる巨視的な変位は、復元力と比例する形になるわけです。

ですから、ある許容範囲を越えて伸ばしすぎてしまえば、どんな材料でも、伸びと復元力の線型関係は失われます（そして、最後には切れてしまう）。フック法則が成立つ範囲をなるべく広くしようと思えば、全体の伸びに寄与する要素部分の量をできるだけ増やして、個々の要素の変位を抑えることが望ましいです。バネは、これを実現するための形状をしています。

ミクロな構造の視点を離れて、材料全体の伸びと力の関係を扱う分野は、材料力学と呼ばれるジャンルに含まれます。この中の、歪み応力曲線関連の部分を調べると、色々な実例や扱い方が出ていると思います。

お礼

hagiwara_m さん、お答えありがとうございます。
どういうジャンルかが分かっただけでも前進です。
とりあえず、フックの法則が弾性域に限り成立する…等と
いうことなどはオンラインでも見つけられました。