電気回路の問題

質問

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| 　　　　　　　| 　　　　|
| 　　　　　　　| 　　　 　|
| 　　　　　　　r 　　　　Ｃ
| 　　　　　　　 | 　　　 　|
E 　　　　　　a点___R_____b点
| 　　　　　　　| 　　　　|
| 　　　　　　　 L 　　　　R
| 　　　　　　　| 　　　　|
|____________　　|__________|　　
このような回路についての問題です。
抵抗Ｒを外したときにa-b間に現れる開放電圧Ｖ（bに対するaの電位）がＥ（交流）と同相であるための条件を求めたいのですが、電圧のベクトルを考えてもよく分かりません。どのように解けばよいのでしょうか？

回答No.3

ruto · ベストアンサー

a点の電圧をVaとすれば
Va＝（XL^2＋jr・XL）／（r^2＋XL^2)
b点の電圧Vbとすれば
Vb＝（XC^2－jr・XC）／（r^2＋XC^2）
となる。ここで同相になるためにはVaとVbの虚数部分を加えて０に成ると同相になる。
ｒ・XL／（r^2＋XL^2）－ｒ・XC／（r^2＋XC^2）＝0
この式を解くと
ｒ＝（XL・XC)^0.5＝（L／C）^.5でいいと思います。
但しXL＝ωL、XC＝1／ωC　とする。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
自分も計算したら同じ答えになったので安心しました。
あと、もう一つ聞きたいのですが、この同相という条件の下で、Ｒをaからbに流れる電流Iabはどうなりますか？
自分はIab=(Va-Vb)/Rだと思うのですが、合っていますか？

回答No.7

ruto

>Iab=Vab/(Ro+R)・・・(1)
が成り立つ。この(1)式でVabが０なので、結局Iab=0になるのですね。どこか間違っていたらご指摘お願いします。
　全てその通りです。指摘する点はありません。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.6

ruto

>自分はIab=(Va-Vb)/Rだと思うのですが、合っていますか？
違ってます。これを解くには鳳テブナンの重ねの理を使いますが、簡単に回答すると。
Va＝（XL^2+ｊrXL）／（r^2＋XL^2）・E
Vb＝（r^2＋ｊrXC）／（r^2＋XC^2)・E
ab間の電位差Vabは
Vab＝Va－Vb
ここで以前求めた虚数部分が０の条件はr^2＝XL・XC
をつかって
Vabの実数部分を計算すると。
Vab＝｛XL^2／（r^2+XL^2）－r^2／（r^2＋XC^2)｝・E
　上式にr^2＝XL・XCを代入してXLとXCのみの式にして
解くと、実数部分のVabも０となる。
　∴Rを流れる電流Iabは
　Iab＝０となる。
なお
　No3でVaとVbの差（和ではなく）で虚数部分を０とするが正しいです。

補足

回答ありがとうございます。求めたｒを代入すると０になるのですね。計算不足でした。
鳳テブナンの重ねの理を考えると、開放電圧はVabで、合成抵抗Roはa-bから電源側を見たrとLとCによるもので、流れる電流をIabとすると
Iab=Vab/(Ro+R)・・・(1)
が成り立つ。この(1)式でVabが０なので、結局Iab=0になるのですね。どこか間違っていたらご指摘お願いします。

回答No.5

Mayday_Mayday

#2です。
L/C=r　⇒　L/C=r^2　でした、すみません。
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もう一度といてみました。
途中からですが。

Va-Vb=E{jXL/(r+jXL)-r/(r-jXC)}
上式を整理すると、
Va-Vb=E[(XLXC-r^2)/{(r^2+XLXC)+j(XLr-XCr)}]

ここで、分母の実部をa、虚部をｂ、分子をcとおく。
Va-Vb=E{c/(a+jb)}
上式を整理すると、
Va-Vb=E{c(a-jb)/(a^2+b^2)}

虚数部＝０より、
cb/(a^2+b^2)=0
cb=0
c,bを元に戻して、
(XLXC-r^2)(XLr-XCr)=0
(XLXC-r^2)=0　または　(XLr-XCr)=0
(XLXC-r^2)=0　より　r=√(L/C)…(1)
(XLr-XCr)=0　より　ω=1/(√LC)…(2)

２つ求まりました。
(1)式の条件は、4つともｒとみなせる回路のとき。
(2)式の条件は、並列共振のとき。
（かな？）

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
自分も計算したら、条件が二つ求まりました。
それぞれの条件の時の理由はそのようになるのですね。勉強になります。

回答No.4

ruto

No.3でVa、Vbとも右辺にEが抜けてました。答えは変わりません。

回答No.2

Mayday_Mayday

すみません、自信はありません。；；

a点側のｒL直列回路の電流をIa、b点側のCr直列回路の電流をIbとします。
Ia=E/(r+jXL)・・・(1)
Ib=E/(r-jXC)・・・(2)
また、
a点の電圧Vaは、Va=Ia*jXL　・・・(3)
b点の電圧Vbは、Vb=Ib*r　　・・・(4)

(3),(4)に(1),(2)を代入して、Va-Vbを求めます。
Va-Vb=E*(jXL/(r+jXL)－r/(r-jXC))
（途中計算省略）
Va-Vb=E（実数部＋ｊ虚数部）
の形に整理して、同相となる条件は、
虚数部=0
とおいて、多分(汗、L/C=r

違ってたらすみません。。。

補足

自分の計算だと次のようになりました。

Ia=E/(r+jωL)・・・(1)
Ib=E/(r+1/jωC)・・・(2)

Va=jωL*Ia・・・(3)
Vb=r*Ib・・・(4)
これらの式からVa-Vbを求めると、

Va-Vb={jωL/(r+jωL)}-{jωCr/(1+jωCr)}・・・(5)
(5)式を（実数部+j虚数部）に整理すると
Va-Vb=実数部+j[{ωLr/{(r^2)+(ωL)^2} - ωCr/{1+(ωCr)^2}]
となって、ここから虚数部=0として計算していくんですけど、まったく自身がなく、どこかで間違えているとしか思えないのです。。。

回答No.1

mii-japan

＞抵抗Ｒを外したときにa-b間

この抵抗Rはa-b間を接続している抵抗ですか

図の回路ではどのようにしても、a,bは同相にはなりません

あえて、同相になる条件をいえば　L,C共短絡状態でインピーダンスが0の場合です

ですが、この場合、回路全体が短絡状態になります

設問に落ちている条件か、写し間違いがありませんか

補足

すいません。図に写し間違いがありました。Ｒはa-b間のみで、右下のＲはｒです。