複素関数 sin(x+iy)について

質問

sin(x+iy)の実部u(x,y)および虚部iv(x,y)を求めたいんですけど、どうすればいいんでしょうか。
演習で、これを求めないと問題が始まらないんです・・・
テイラー展開とかでしょうか？

あまりにも基本的な問題なので著作権等々は問題ないだろうと質問させてもらいましたが、もし問題あるようなら言って下さい。取り消します

回答No.2

pyon1956 · ベストアンサー

複素数変数で書くと
sin(x)={(e^(ix)-e^(-ix)}/2

これにx+yiを代入すると
e^i(x+yi)=e^(-y+ix)=(e^ix)/e^y
e^{-i(x+yi)}=e^(y-ix)=e^y/(e^ix)=e^y・e^(-ix)
辺々ひいて2で割る.
オイラーの公式よりe^(±ix)=cosx±isinxだからこれを代入して整理しておしまい。
つまり全部オイラーの公式と指数法則でいけますよ。

お礼

回答有難うございます！
> sin(x)={(e^(ix)-e^(-ix)}/2
これ忘れてました・・・そうかそうか、
助かりました、無事解決しました！

回答No.4

pyon1956

失礼！寝ぼけてまいたね。
#3さんの仰る通りです。
従って計算結果は変わってしまいますが、まあこのような方針でやってもらえれば・・・と。（汗）

回答No.3

noname#21219

ほぼ♯2さんのご回答で終わっていますけど
オイラーの公式：e^ix=cosx＋isinx
e^-ix=cos(-x)＋isin(-x)=cosx-isinxの２式を
sinxとcosxについて連立方程式とみなして解くと
sinx=(e^ix-e^-ix)/2iというように、分母にiがつくので注意が必要です。

お礼

補足有難うございます！
いや～ここの回答者の方は皆さん親切で助かりました！

回答No.1

ryn

定義域が複素数の場合の三角関数の定義を
確認すれば解決すると思います．

お礼

お礼送れて申し訳ありません・・・
回答有難うございました！