[数学] (1-i)^1/2=x+iy

質問

(1-i)^1/2=x+iy

を満たす実数x,yを求めよ。

という問題が解けません。よろしくお願いします。

回答No.4

ramayana

おっと失礼。ANo.3 は、転記ミスでした。正しくは、

　　y = ((-1+2^0.5)/2)^0.5 or -((-1+2^0.5)/2)^0.5
　　x = -((1+2^0.5)/2)^0.5 or ((1+2^0.5)/2)^0.5

です。

回答No.3

ramayana

別解

1 - i = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy

よって

　　x^2 - y^2 -1 = 0
　　2xy +1 = 0

終結式をとって x を消去すると、

　　4y^4 + 4y^2 -1 = 0

よって、

　　y = (-1+2^0.5)^0.5 or -(-1+2^0.5)^0.5

上の式にこの y を代入して x を求めると

　　x = -(1+2^0.5)^0.5 or (1+2^0.5)^0.5

回答No.2

ereserve67

一般に虚数a+ib(a,b実数,b≠0)の平方根√(a+ib)は極形式で求める方が見通しがよいです．すなわち

a+ib=r(cosθ+isinθ)=re^{iθ}(r>0,0<|θ|<π)

とおくと

√(a+ib)=√re^{iθ/2}e^{i2πk/2}(k=0,1)

すなわち

√(a+ib)=±√r{cos(θ/2)+isin(θ/2)}

ここで0<|θ/2|<π/2より半角公式から

cos(θ/2)=√{(1+cosθ)/2}=√{(1+a/r)/2}

sin(θ/2)=±√{(1-cosθ)/2}=±√{(1-a/r)/2}
(＋は0<θ<π/2のとき，-は-π<θ<0のとき
だから±=sgn(b)=b/|b|)

すなわち

√(a+ib)=±√r{√{(1+a/r)/2}+i(b/|b|)√{(1-a/r)/2}}

=±(√{(r+a)/2}+i(b/|b|)√{(r-a)/2})

=±(√{(√(a^2+b^2)+a)/2}+i(b/|b|)√{(√(a^2+b^2)-a)/2})

これが虚数の平方根の公式です．

この公式に当てはめるとa=1,b=-1だから

√(1-i)=±(√{(√2+1)/2}-i√{(√2-1)/2})
=±{√(2√2+2)}-i√(2√2-2)}/2
よって

x=±√(2√2+2)/2
y=∓√(2√2-2)/2
(複号同順)

となります．

回答No.1

Tacosan

手元の電卓によると, 1-i の平方根の 1つは
{[-2i + (1+i)√2]√(1+√2)}/2
だそうだ.

もうちょっと簡単にできるよなぁ, これ....