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大学数学・解析の問題です。
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- info22_
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(1) >cos(x+iy)=cosxcoshy-isinxsinhy と >|x+iy|^2=x^2+y^2 から 左辺=|cosxcoshy-isinxsinhy|^2=(cosxcoshy)^2+(sinxsinhy)^2 =cosx^2*(1+sinhy^2) +(1-cosx^2)sinhy^2 =右辺 (2) >a^x=e^(xloga) と e^(iπ/2)=i を利用して 左辺=e^(xlog(i))=e^(xlog(e^(iπ/2)))=e^(x*iπ/2))=右辺 (3) x+iy=|x+iy|e^(itan(y/x)^(-1)) なので >|x+iy|^2=x^2+y^2 を使えば x+iy=(x^2+y^2)^(1/2)*e^(itan(y/x)^(-1)) 両辺の対数をとれば log(x+iy)=(1/2)log(x^2+y^2)+itan(y/x)^(-1) ∴左辺=右辺
- IveQA
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(1)cos(x)^2+sin(x)^2=1, {cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 (2)i=exp(iπ/2) (3)x+iy=r・exp(iθ)
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補足
回答ありがとうございます。 左辺から右辺を証明するという意図で出題されているようなのですがどうしたら良いでしょうか? a^x=e^(xloga)ではlog(a^x)=xlogaからa^x=e^(xloga)のように示しました。