解析学の問題について
- 解析学の問題について質問があります。広義積分の収束についてp<1とp>1の場合について示す方法を教えてください。
- 質問内容によると、広義積分の収束の問題について質問があります。p<1の場合とp>1の場合についてそれぞれの収束を示す方法を教えてください。
- 解析学の問題についての質問です。広義積分の収束に関する条件によってp<1の場合とp>1の場合で異なる方法で収束を示す必要があるようです。
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解析学の問題
どうしてもわからない問題があるので質問します。 問、以下の広義積分について(1)はp<1のとき、(2)はp>1のとき収束することを示せ。 (1) ∫[1,∞] x^p*sin(x^2) dx (2) ∬[(x,y)|x^2+y^2≦1] (|x||y|) / ((|log(x^2/2 + y^2/3)|^p)*(x^2+y^2)^2) dxdy (1)はx^2をyにおき、 lim[t->∞] ∫[1,t] y^((p-1)/2) dy ― (1) が収束することを示し、 lim[t->∞] ∫[1,t] y^((p-1)/2) dy ≧ 与式 によって示そうとしましたが、(1)の収束を示すことができませんでした。やり方が違うのでしょうか？ (2)は x=(√2)*r*cosθ y=(√3)*r*sinθ と変数変換をして解こうとしましたが、log以外の部分がややこしくなって解き方がわからなくなりました。 わかる人がいれば、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。
- akisute03
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(1) 変数変換というよりも、| sin(x^2) | ≦ 1 を使って評価したのですね。 | ∫ (x^p) sin(x^2) dx | ≦ ∫ | x^p |・| sin(x^2) | dx ≦ ∫ x^p dx が成り立つので、右辺 = (1/2) lim[t->∞] ∫[1,t] y^((p-1)/2) dy が 収束するならば、確かに ∫[1,∞] (x^p) sin(x^2) dx の絶対収束が 言えたのですが、 残念ながら、∫[1,∞] x^p dx = lim[t→∞] { t^(p+1) - 1 } / (p+1) は -1 < p < 1 の範囲では発散しますから、そうは問屋が卸しません。 | (x^p) sin(x^2) dx | ≦ ∫ x^p dx では、評価が緩すぎたのです。 別の方法を考えましょう。 (a) 積分範囲を 2π(n-1) ≦ x^2 ≦ 2πn で分割して、 級数の収束に帰着させる。 (b) (x^p) sin(x^2) = (x^(p-1)) (x sin(x^2)) で部分積分に持ち込んで、 p < -1 の場合に帰着させる。 他にもイロイロあると思います。 (2) その方法でよいのでは？ 被積分関数が x, y の遇関数なので、第一象限について積分して ４倍すればよいから、分子の絶対値記号は外せますね。 r ≦ 1 だから、log(r^2) の符号も決まる。 極座標に変換した後、更に s = r^2 で変換すれば、 (∫ なんとか ds) (∫ かんとか dθ) という形に分解できます。
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