- ベストアンサー
複素関数の同等角について
- 複素関数の同等角についての問題について解説します。
- 複素関数の同等角の概念を理解するためには、正則関数や写像φの性質を考慮する必要があります。
- この問題では、複素関数の正則性と等角性を活用して、曲線φ(L1)とφ(L2)が交わる条件を解く必要があります。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
直線でなくても使えるのでしょうか？： 曲線L1と曲線L2がありz0をその交点とする L1上z0に近い点をz1とし L2上z0に近い点をz2とすると 微分の定義からほぼ (f(z1)-f(z0))/(z1-z0)=f'(z0) (f(z2)-f(z0))/(z2-z0)=f'(z0) f'(z0)=0でない場合上式を下式で辺辺割って整理すれば (f(z1)-f(z0))/(f(z2)-f(z0))=(z1-z0)/(z2-z0) 左辺の偏角はφ(L1)とφ(L2)のなす角であり 右辺の偏角はL1とL2のなす角であり 両辺が等しい以上両辺の偏角は等しいから…
お礼
ありがとうございます。本当に参考になりました。
関連するQ&A
- 複素関数の問題です。
複素関数の問題です。 複素関数の問題で分からない問題があって困っています。 【問題】 F(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy において u(x,y)=a, v(x,y)=b で表される曲線をxy平面上に描いたとき、それらの交点においてF´(z)≠0であれば、その交点における各曲線に対する接戦が互いに直交することをコーシー・リーマンの関係式を用いて示せ。ただしF´(z)はF(z)の導関数であり、関数u(x,y)の点(x,y)での微分は、 du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy で与えられる。 わかる方がいれば、どうか教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の問題で・・・。
正則関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)に対して(u(x,y),v(x,y))のヤコビ行列式Ｊがlf'(z)l^2になることを示さないといけないのですが、この場合uとvをどのような式と仮定して解けばよいのでしょうか。式さえあれば実際に計算して証明できるのですが、何次式かもわからないしとけないです＞＜御願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の導関数
微分の定義 lim{Δz→0} {f(z + Δz) - f(z)}/Δz に立ち戻らずに偏微分などを使って複素関数の導関数を求めたいのですが。 w = f(z) = u + iv, z = x + iy （x,y,u,vは実数） として f'(z) = dw/dz = (d/dz)(u + iv) までは合ってますよね？ ここから du/dz = (∂u/∂x)(∂x/∂z) + (∂u/∂y)(∂y/∂z) として ∂z/∂x = 1, ∂z/∂y = i より du/dz = ∂u/∂x - i ∂u/∂z 同様に dv/dz = ∂v/∂x - i ∂v/∂z としてしまっていいのでしょうか？ 実際の例としてf(z) = sin(z)を例に教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則性について。
--------------------------------------------------- f(z)=1/(bar(z)) z = x + iy とし z ≠ 0においてf(z)が正則であるかどうか判定せよ。 また、 Ｒ>０に対して複素積分 ∫_[|z|=R]f(z)dz の値を求めよ --------------------------------------------------- という問題なのですが、 u=x/x^2＋y^2, v=u/x^2＋y^2とすると、 ∂u/∂x = y^2-x^2/(x^2＋y^2)^2 ∂v/∂y = x^2-y^2/(x^2＋y^2)^2 となり、コーシー・リーマンの判定式を用いると、 ∂u/∂x≠∂v/∂yとなり、条件を満たさないので、 f(z)は正則ではないという結果が出ます。 f(z)が正則ではないのは、(bar(z))=0で特異点を持つためだと思うのですがこの問題の場合、z≠0で除外されていますよね？ この場合、正則なのでしょうか？ おそらく、特異点の捉え方がよくわかっていないのだと思います。 また、 次の問題はコーシーの積分公式で求めると思うのですが、 この公式は、bar(z)の場合にもそのまま当てはめてよいのでしょうか？ ご指導ご鞭撻の程、宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。自分は、φ（L１）＝（u(x+cosθ、y＋sinθ），・・）とおいてから、どうしていいかわからずに終わっていましたが、微分の公式をもちいてやるんですね。わかりました。あと、もうひとつですが、このやり方は、直線でなくても使えるのでしょうか？