エアバッグ型の運動方程式の一般解

質問

授業で物体が衝突するとき衝撃を和らげる装置を考え微分方程式を解けというのがありました

それで授業で扱ったのが
バネ(F∝x)とダッシュポット(F∝v)を同時に使ったものでした

確かにそれで衝撃が和らぐことはわかりましたが
エアバッグでも衝撃を和らげることができるのではないかと思い運動方程式を立ててみました

底面積Sの理想気体PSl=nRTが詰まったピストンがある
その底面に底面と形の同じ物体(質量m)が衝突する
このときの運動方程式は

mdv/dt = nRT/(l-x)

となります

この運動方程式の一般解は存在するのでしょうか？
存在するとしたらどのような解なのでしょうか？あるいはどのような書籍orホームページを見ればよいでしょうか?

どなたかご存知の方いらっしゃいましたらご教授ください

回答No.1

gamma · ベストアンサー

解の存在に関しては応用数学の教科書等をご覧下さい。

でも、ピストンを使うとガス抜き（式ではPをxの適当な関数で減少）をしなければ、固体壁にあたるよりは衝撃が和らぎますが、また跳ね返されるのでは。

お礼

いわれてみれば仕事しませんから跳ね返りますね。
とりあえずrunge-kuttaで解は出してみました
どうもありがとうございました

回答No.2

ojisan7

>運動方程式は
m(d^2/dt^2)x = nRT/(l-x)
となります

ということですが、この場合Ｔはｘの関数ですね。衝突は瞬間の出来事ですから、断熱変化と考えればポアソンの関係式が使えます。とにかく、微分方程式を立てて下さい。解けるかどうかは別として、物理的に考えて、一般解は存在するでしょうね。

解き方は参考書をご覧下さい。

お礼

確かに変化の早さによっては断熱変化ともみなせて熱力学的なアプローチも使えそうですね
どうもありがとうございました