多変数方程式の解は？

質問

多変数方程式　ｆ（x1、x2、・・・、ｘ_n) ＝ ０　の解は、
連立方程式　f = f[x1] = f[x2] = ... = f[x_n] = 0　の解
なのでしょうか。ここに、f[x_i] は、ｆ を x_i について偏微分した式です。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

正しくない。

例えば, 2変数方程式
f(x,y)=x-y=0の解(ex. x=y=a(任意定数)) は
連立方程式 f(x,y)=fx(x,y)=fy(x,y)=0
x-y=1=-1=0
の解と言えるでしょうか?

お礼

誠に有難う御座います。

補足

『朝倉数学辞典』１６６ページ「グレブナー基底　例２」に、「曲線Ｃ：　ｆ（ｘ、ｙ）＝０の特異点は連立方程式ｆ＝ｆ[x] = f[y] = 0 の解である。」とあるのですが、これの意味は何でしょうか。グレブナー基底で、連立のみならず、単立の(単一の）方程式も全て解けるということではないのでしょうか。グレブナー基底で解ける、多変数の方程式とは、どんなものでしょうか。

回答No.4

178-tall

>「両者」と「Ｆ］とは何でしょうか

Ｆは f の誤記。
　　↓
その両者が連立するのは、その点セット {x1, x2, … xn} が f(x1, x2, … xn) の「二重根」であるケース、と思われます。

(貴方の想定を把握できてないのかも…)
当方の勝手な想定は、
　　　　　↓
f(x1, x2, … xn) は n個の変数 {x1, x2, … xn} を含む単一算式。
その単一算式に零点 {x1o, x2o, … xno} があり、
かつ f[x1o] = f[x2o] = ... = f[xno] = 0 が成立する
…というケースを妄想してました。

全然違う模様で、蒙御免。

お礼

有難う御座います。

補足

質問の意図としましては、グレブナー基底の射程が知りたくて、それが連立方程式以外の方程式でも解ける万能なものか否かをお答え頂きたいのです。
info33様への補足コメントも御覧ください。『朝倉　数学辞典』では、
ｆ（ｘ、ｙ）＝０　の特異点の座標として、ｆ（ｘ、ｙ）＝０　の解らしいものが列挙してあり、それを出すのにグレブナー基底が計算してあるのですが・・・？

回答No.3

178-tall

ANo.1 の一例。

　f(x1, x2) = (x1-a)^2*(x2-b)^2 = 0
の解 a (または b) は、
　f[x1] = 2*(x2-b)^2*(x1-a) = 0
　(または f[x2] = 2*(x1-a)^2*(x2-b) = 0 )
の解。

お礼

有難う御座います。

回答No.1

178-tall

>多変数方程式　ｆ（x1、x2、・・・、ｘ_n) ＝ ０　の解は、
>連立方程式　f = f[x1] = f[x2] = ... = f[x_n] = 0　の解
>なのでしょうか。

その両者が連立するのは、その点セット {x1, x2, … xn} が F(x1, x2, … xn) の「二重根」であるケース、と思われます。

お礼

有難う御座います。

補足

「両者」と「Ｆ］とは何でしょうか。また、御根拠は何でしょうか。