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ニュートン運動方程式の解としての級数？
数日前に聞いた話ですが、惑星の運動など、ニュートン力学の運動方程式が解けるかどうかを考えるときに、級数の収束が大切、ということを聞きました。 自分が運動方程式 m x'' = F を解くときは、別に級数なんて出てきたことがないのですが、なぜ、級数が関係してくるのでしょうか？ 「通常は、級数の最初の数項の数値を求めるだけで、惑星の運動は分かるけど、級数が収束するかどうかは分からない」といったことを聞きましたが、そもそも、なぜ、運動方程式を解くときに級数が出てくるのかが良く分からないです。
- white-tiger
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ニュートンの運動方程式（ｍｘ"＝F)は時間についての２階微分方程式ですね。例えばバネの振動（調和振動子）の運動は、ご承知にように次ぎのような微分方程式を解けば良いわけです。 ｍｘ”＝－kｘ (1) (1)の微分方程式は容易に解けてxの時間変化はサイン関数で表わされ、決して級数なんかはでてきません。 ＞なぜ、級数が関係してくるのでしょうか？ しかし、問題によってはニュートンの運動方程式は(1)のような単純な形でなく、複雑な微分方程式となる場合があります。例えば注目している質点に作用する力が中心力に加え遠近にある他の質点群からの力の影響も受けている力学系とか、いろいろな複雑な力学系が考えられる訳ですか、それに伴い、力Ｆの中身は一段と複雑な形となってきます（具体的には、既に回答されている方々の記されているURLを参照して下さい）。こうなってくるとニュートンの微分方程式（運動方程式）は簡単には解けなくなる場合がでてきます。しかし解きたいという場合、近似的に解を求める手段として解を級数で表わすやり方がある訳ですね。このやり方がいつも成功するとは限りませんが、有効な手段であることは間違いありません。これでもダメな場合はコンピュータでのシミュレーションということになりますが。 例として、微分方程式のテキストなどに出てくる ｘ”＝ｋｘ’－ａｘ (2) という微分方程式は、解ｘを ｘ＝a0＋a1t＋・・・anｔ^n+・・・ (3) とtのベキ級数で近似するやり方で解かれます。
その他の回答 (3)
惑星の運動は解析的に解くことが出来ますが、 それは、角度シータを与えた場合の話で、 時間tの関数として陽に書きたいと思ったら、 Kepler方程式が出てきます。 で、陽に書く、ということは シータ=tの関数 r=tの関数 と書き直すことで、これは、解析的には出ないので 級数展開するしかない、という理屈です。 Kepler方程式その他については、参考URLをどうぞ。 http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/~kishika/Enn/math.01/doc/math7-2.html
お礼
参考URLありがとうございます。読んでみます。
- Mell-Lily
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天体の運動は、運動方程式と万有引力の法則によって、求めることができますが、数学的に解くことができるのは、二体問題まです。三体問題は、数値的に解くことしかできません。級数は、この近似計算のときに出てくるでしょう。
お礼
近似計算のときに出てくるのですね。ありがとうございます。
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お礼
具体的で、分かりやすい説明をありがとうございました。 近似解を求める手段としてでてくるのですね。