5次方程式のべき級数を使った解法？

質問

まず、2次方程式の解の公式
{-b±√(b^2-4ac)}/2a
ですが、それをべき級数を使って書くには、概要は次のようにできると思います。

文字aについてべき級数を使って書く場合。
|b^2|>|4ac|のとき、
√(b^2-4ac) = b*√(1-4ac/b^2)
とし、ニュートンの一般化した二項定理で、aについて展開します。
|b^2|<|4ac|のとき、
√(b^2-4ac) = √(-4c)*√(a)*√(1-b^2/4ac)
とし、三つ目のルートをニュートンの一般化した二項定理で、aについて展開します。
ただし、aについて、負のべきの無限級数になります。
二つ目のルートにおいては、a^(1/2)が残ったままです。
一つ目のルートにおいては、実数の場合も虚数の場合もあります。
とにかく解は、aの半整数のべきの無限和でかけます。
文字bについても、文字cについても同様です。

そう考えると、5次方程式のべき級数を使った解法もあると思いますが、なんらかの文献や情報があれば教えてください。
特に外国の文献に関してを希望します。

回答No.2

jaspachate · ベストアンサー

多項式（に限らず）の解が存在する限りそれをべき級数で表すことは可能です。
ただし解法として示すにはその収束条件などを示さなければなりません。

一般に多項式方程式の逆問題（逆関数）と呼ばれるものはべき級数によって解を表すことができます。特に目新しいというわけではありません。
その手法は、
y = Σa[n]x^n
なる多項式[無限級数でも良い]があった場合に x = f(y) を x = Σ[-∞～∞]b[n]y^[n] と表し、上式に代入し係数を比較して決定するものです。
大学上級か大学院以上の解析学の専門書などに載っていますので参考にして下さい。

回答No.1

koko_u_u

「べき級数を使った解法」を数学的に定式化して補足にどうぞ。
また、3 次方程式の場合にはどうなるのかも補足に。