18次方程式の１つの解αに対して，

質問

方程式
x^18+x^17+…+x+1=0
の１つの解αに対して，
β_i=α^i+α^(-i)，
γ_1=β_1+β_7+β_8，
γ_2=β_2+β_3+β_5，
γ_3=β_4+β_6+β_9
とおくとき，多項式
f(x)=(x-γ_1)(x-γ_2)(x-γ_3)
を求めよ．
(答)f(x)=x^3+x^2-6x-7

上手な解法があると聞きました。それをご存知の方はどうか教えてください。

回答No.4

nag0720

＞さらなる変形はできるのでしょうか?　　ということを述べたつもりでした。

失礼しました。

γ_p*γ_(p+1)=γ_(p+2)-γ_(p)-2
については、

γ_p*γ_(p+1)=Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p-1))*Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p))
=Σ[i=0・・2]Σ[j=i・・i+2]β_(2^(3i+p-1))*β_(2^(3j+p))
=Σ[i=0・・2]Σ[j=i・・i+2]{β_(2^(3i+p-1)+2^(3j+p))+β_(2^(3i+p-1)-2^(3j+p))}
=Σ[i=0・・2]Σ[j=i・・i+2]{β_(2^(3i+p-1)(2^(3j-3i+1)+1))+β_(2^(3i+p-1)(2^(3j-3i+1)-1))}
=Σ[i=0・・2]Σ[k=0・・2]{β_(2^(3i+p-1)(2^(3k+1)+1))+β_(2^(3i+p-1)(2^(3k+1)-1))}
=Σ[i=0・・2]{β_(2^(3i+p-1)(2^1+1))+β_(2^(3i+p-1)(2^1-1))+β_(2^(3i+p-1)(2^4+1))+β_(2^(3i+p-1)(2^4-1))+β_(2^(3i+p-1)(2^7+1))+β_(2^(3i+p-1))(2^7-1))}
=Σ[i=0・・2]{β_(2^(3i+p))+β_(2^(3i+p-1))+β_(2^(3i+p))+β_(2^(3i+p+1))+β_(2^(3i+p+1))+β_(2^(3i+p+1))}　　　（★）
=γ_(p+1)+γ_(p)+γ_(p+1)+γ_(p+2)+γ_(p+2)+γ_(p+2)
=γ_(p+2)-γ_(p+3)-2

（★）の等号は、次のことを利用しています。
2^1+1=3≡2^13 、13≡1
2^1-1=1≡2^0 、0≡0
2^4+1=17≡2^10 、10≡1
2^4-1=15≡2^11 、11≡2
2^7+1=129≡15≡2^11 、11≡2
2^7-1=127≡13≡2^14 、14≡2
始めの合同式はmod19、２番目の合同式はmod3です。

お礼

計算確かめました。とても上手な方法ですね。ありがとうございました。

α=e^(2πi/19)として、αを求めるには、まず、
f(x)=(x-γ_1)(x-γ_2)(x-γ_3)=x^3+x^2-6x-7=0
から大小関係に注意して、γ_1,γ_2,γ_3を求める。

β_1+β_7+β_8=γ_1

β_1*β_7+β_7*β_8+β_8*β_1
=β_8+β_6+β_15+β_1+β_9+β_7
=β_8+β_6+β_4+β_1+β_9+β_7
=β_8+β_6+β_4+β_1+β_9+β_7-(β_1+β_2+β_3+・・・+β_9+1)
=-1-β_2+β_3+β_5
=-1-γ_2

β_1*β_7*β_8
=(β_8+β_6)*β_8
=β_16+β_0+β_14+β_2
=β_3+2+β_5+β_2
=2+γ_2

これらからβ_1を求める。

α^1+α^(-1)=β_1
を解いて、αを求めるのですね。

それは、x^19=1の1でない解で、
19-1=18=3*3*2
を根拠として、3次方程式、3次方程式、2次方程式を解いていくことで求められるようです。

回答No.3

nag0720

＞β_(2^j)*β_(2^k)=β_(2^j + 2^k)+β_(2^k - 2^j)
＞の変形はできるのでしょうか？

＃１でも書きましたが、
β_i*β_j=β_(i+j)+β_(i-j)
です。これは、２の累乗でなくても成立しています。
β_i*β_j=(α^i+α^(-i))(α^j+α^(-j))
=α^(i+j)+α^(i-j)+α^(-(i-j))+α^(-(i+j))
=β_(i+j)+β_(i-j)

γ_p*γ_(p+1)=Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p-1))*Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p))
の計算式は今は時間がないので、またあとで。

お礼

ありがとうございます。

β_(2^j)*β_(2^k)=β_(2^j + 2^k)+β_(2^k - 2^j)

と変形できますが、さらなる変形はできるのでしょうか?　　ということを述べたつもりでした。

回答No.2

nag0720

γ_1=β_1+β_7+β_8=β_(2^0)+β_(2^3)+β_(2^6)
γ_2=β_2+β_3+β_5=β_(2^1)+β_(2^4)+β_(2^7)
γ_3=β_4+β_6+β_9=β_(2^2)+β_(2^5)+β_(2^8)
という規則性があるなら、まとめると、
γ_p=Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p-1))

γ_1+γ_2+γ_3=-1　は当然として、

γ_p*γ_(p+1)=Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p-1))*Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p))
を計算すると、計算過程はちょっと面倒ですが、
γ_p*γ_(p+1)=γ_p(p+2)-γ_(p+3)-2
となります。

これを使えば、
γ_1*γ_2+γ_2*γ_3+γ_3*γ_1=-6

γ_1*γ_2*γ_3
=(γ_3-γ_1-2)γ_3
=-2γ_1*γ_3-γ_2*γ_3-3γ_3
=-2(γ_2-γ_3-2)-(γ_1-γ_2-2)-3γ_3
=-2γ_2+2γ_3+4-γ_1+γ_2+2-3γ_3
=-γ_2-γ_1-γ_3+6
=7

お礼

ありがとうございます。

No.1の方法で、
γ_1*γ_2=γ_3-γ_1-2

を計算し、
αをα^2に変えると、β_iはβ_(2i)に変わり、γ_iはγ_(i+1) に変わる（ただし、βの添え字はmod 19で考え、γの添え字はmod 3で考える）ことから、
γ_2*γ_3=γ_1-γ_2-2、
γ_3*γ_1=γ_2-γ_3-2

が分かることから、
γ_1*γ_2+γ_2*γ_3+γ_3*γ_1=-6、γ_1*γ_2*γ_3=1
を確かめることができました。

ただ、No.2で、γ_p=Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p-1))と表したとしても、
γ_p*γ_(p+1)=Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p-1))*Σ[i=0・・2]β_(2^(3i+p))
がうまくいきそうにないのです。
たとえば、
β_(2^3)*β_(2^7)=β_(2^3 + 2^7)+β_(2^7 - 2^3)
ですが、それを計算するには、実際に累乗を求めて足したり引いたりしなければいけないと思います。
そうすると、βの添え字を原始根2を使って表したことが役立っていない気がするのです。
具体的な数字だとなんとか計算できても、
β_(2^j)*β_(2^k)=β_(2^j + 2^k)+β_(2^k - 2^j)
の変形はできるのでしょうか？

回答No.1

nag0720

β_1+β_2+β_3+・・・+β_9=-1
β_i=β_(19-i)
β_i=β_(-i)
β_i*β_j=β_(i+j)+β_(i-j)

β(i,j,・・・,k)=β_i+β_j+・・・+β_k
と書くことにして、
γ_1*γ_2=β(1,7,8)*β(2,3,5)
=β(3,1,4,2,6,4,9,5,10,4,12,2,10,6,11,5,13,3)
=β(1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,7,8,9,9,9)
=β(2,3,4,4,5,6,6,9,9)-1
=β(4,6,9)-β(1,7,8)-2
=γ_3-γ_1-2
というようにしていけば、
γ_1*γ_2+γ_2*γ_3+γ_3*γ_1
γ_1*γ_2*γ_3
を計算するのはそんなに大変じゃないでしょう。

γを定義しているβの添字に規則性が見えないので、地道に計算するしかないような・・・

お礼

とてもすばらしい計算のコツを教えていただきありがとうございます。

>γを定義しているβの添字に規則性

γ_1=β_1+β_7+β_8

=α^1+α^18+α^7+α^12+α^8+α^11

=α^1+α^8+α^7+α^18+α^11+α^12

=α^8^0+α^8^1+α^8^2+α^8^3+α^8^4+α^8^5

=α^2^0+α^2^3+α^2^6+α^2^9+α^2^12+α^2^15

(α^19=1より)

というような規則性があるようです。

mod19の原始根は2とか、ガウスのf項周期という考えが基にあるようです。
詳しくは知らないので、円分体の理論を勉強しなければと思っています。